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高校1年生 (15-16歳)

数I 因数分解 わかりやすく

Factorization

因数分解は展開を逆にたどることで、1つの多項式をいくつかの多項式の積にまとめ直す作業です。 面積がx² + 5x + 6の長方形の縦と横を求めると考えると、足して5、かけて6になる2と3を見つけて(x + 2)(x + 3)に分けることになります。 x⁴をふくんでいて手ごわそうな式も、x² = tとおけば見なれた2次式になり、3次以上の式は因数定理で解を1つ見つけるところから糸口がつかめます。 1つ目の図では2つの数a, bによって面積モデルの4つの部分が、2つ目の図では係数kによって置き換えを使った因数分解の流れが変わります。

因数分解はかけ算の逆

因数分解は展開を逆にたどる作業である。長方形の面積が式でわかっているとき、縦と横の長さを求めるのと同じである。

2
3
💡 和と積から2つの数を見つける
①x² + px + qでは、足してp、かけてqになる2つの数を探す
②その2数がa, bなら、x² + px + q = (x + a)(x + b)である
③面積モデルで見ると、右上の長方形bxと左下の長方形axの和がpx、右下の長方形の面積abがqにあたる

因数分解の公式

公式

覚えておきたい因数分解の公式

置き換えを使った因数分解

複雑に見える式も、うまく置き換えれば2次式になる。x⁴があればx² = tとおき、同じかたまりがくり返し出てくれば、そのかたまりを1つの文字におき換える。

3
🔑 置き換えて因数分解する手順
①同じかたまりが見えたら、1つの文字におき換える
②x⁴ + ax² + bの形は、x² = tとおくとtの2次式になる
③tの2次式を因数分解してから、tのところにx²をもどす
④もどした因数にx² − 4のようにまだ分けられるものがあれば、最後まで分ける

因数分解の進め方

まず共通因数をくくる
共通因数をくくる → 公式を使う → 置き換え・因数定理
この順に調べれば、たいていの式は分けられる
和と差の積の公式
a² − b² = (a + b)(a − b)
いちばんよく使う因数分解の公式

例題と単元テスト

例題 1
x³ + 8を因数分解せよ。
1
8 = 2³なので、3乗の和の公式 a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) を使う。
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
2
a = x, b = 2を代入する。
x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)
▸ (x + 2)(x² − 2x + 4)
うしろのx² − 2x + 4は判別式が4 − 16 < 0なので、実数の範囲ではこれ以上分けられない。
例題 2
x⁴ − 13x² + 36を因数分解せよ。
1
x² = tとおくと、tの2次式になる。
t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9)
2
tのところにx²をもどし、それぞれの因数を和と差の積の公式でさらに分ける。
(x² − 4)(x² − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)
▸ (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)
置き換えて出てきた(x² − 4)(x² − 9)で止めると、まだ分け終わっていない。もどしたあとも、さらに分けられないか必ず確かめる。

まとめ

2次式の因数分解
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
和と積から2つの因数を見つける
3乗の和と差
a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
うしろのかっこのまん中の項は、前と符号が逆になる
高1 校内試験 類型
多項式 x³ − 2x² − 5x + 6 を因数分解すると？
①(x − 1)(x − 2)(x + 3)
②(x − 1)(x + 2)(x − 3)
③(x + 1)(x − 2)(x − 3)
④(x − 1)(x − 2)(x − 3)
⑤(x + 1)(x + 2)(x − 3)
▸ ② (x − 1)(x + 2)(x − 3)
1
x = 1 を代入すると 0 なので、因数定理より x − 1 が因数。
f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0
2
割り算で商を求め、さらに因数分解する。
(x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)
🎯 よく出るポイント
①まず共通因数がないか調べる
②2つの項がどちらも平方の形なら、和と差の積の公式を使う
③3つの項がa² ± 2ab + b²の形か確かめ、完全平方式にまとめる
④x⁴をふくむ式はx² = tとおいてみる
⑤3次以上の式は、定数項の約数を代入して0になる値を見つけ、因数定理で1次の因数を得る
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複素数

最終更新

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