因数分解

Factorization

因数分解は展開のちょうど逆向きで、一つの多項式を積の形にまとめ直す作業です。面積から縦横の長さを取り戻すように、x² + (a+b)x + ab を見て和が (a+b)、積が ab となる二数を探せば (x+a)(x+b) に分解できます。 x⁴ のように次数が高くて手強い式も t = x² と置換すれば見慣れた二次式に変わり、高次式は因数定理で解を一つ見つけると糸口がつかめます。このページでは a, b と係数 k をスライダーで動かし、面積モデルと置換の流れを確かめてみましょう。

因数分解 = 乗法の逆

因数分解は展開の逆です。面積から縦横の長さを求めるようなもの。

💡 和と積で探す

①x² + px + q で和=p、積=q となる2数を探す

②その2数が a, b → (x+a)(x+b)

③面積モデル：縦横を求める過程

因数分解公式まとめ

公式

因数分解の核心公式

置換による因数分解

複雑な式も適切な置換で2次式に変わる。x⁴形は t = x²、反復部分は一つの文字で置換。

係数 k3

🔑 置換戦略

①共通部分があれば一つの文字で置換

②x⁴ + ax² + b → t = x² → t の2次式

③因数分解後、元の変数に戻す

実戦戦略

核心：共通因数が先

共通因数 → 公式適用 → 置換

3段階アプローチ

和差公式の活用

a² - b² = (a + b)(a - b)

最頻出の因数分解公式

実際に解いてみる

例題 1

x³ + 8 を因数分解せよ。

8 = 2³ なので、立方の和の公式 a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) を使う。

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a = x, b = 2 を代入する。

x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)

▸ (x + 2)(x² − 2x + 4)

立方の和・差の公式を覚えればすぐ分解できる。

例題 2

x⁴ − 13x² + 36 を因数分解せよ。

x² = t と置換すると二次式になる。

t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9)

t = x² に戻し、各因数を平方の差で分解する。

(x² − 4)(x² − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)

▸ (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)

複二次式は置換してから平方の差で最後まで分解する。

まとめ

2次式因数分解

x² + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b)

和と積で2因数を見つける

3乗の因数分解

a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

中央項は反対の符号

高1 校内試験類型

多項式 x³ − 2x² − 5x + 6 を因数分解すると?

①(x − 1)(x − 2)(x + 3)

②(x − 1)(x + 2)(x − 3)

③(x + 1)(x − 2)(x − 3)

④(x − 1)(x − 2)(x − 3)

⑤(x + 1)(x + 2)(x − 3)

▸ ② (x − 1)(x + 2)(x − 3)

x = 1 を代入すると 0 なので、因数定理より x − 1 が因数。

f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0

割り算で商を求め、さらに因数分解する。

(x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)

🎯 試験ポイント

①共通因数を先に取り出す癖

②和差公式：2項が平方かを確認

③完全平方式：中央項が 2ab か

④置換：x⁴ 問題は t = x² を試す

⑤因数定理連携：定数項の約数を代入して解を探す