共通数学›多項式

剰余定理と因数定理

Remainder Theorem & Factor Theorem

剰余定理 — 代入で余りが求まる

多項式 P(x) を (x - a) で割った余りはP(a)に等しい。除法せずに代入だけで余りが求まる強力な道具。

a の値2

💡 剰余定理の直観

①f(x) = (x-a)·Q(x) + R で x = a を代入

②f(a) = 0·Q(a) + R = R

③よって余り R = f(a)

剰余定理の公式

剰余定理

P(x) ÷ (x - a) の余り = P(a)

代入値がそのまま余り

一般化

P(x) ÷ (ax + b) の余り = P(-ba)

ax + b = 0 の解を代入

因数定理 — P(a)=0 なら因数

余りが0とは、グラフがx 軸と交わるということ。P(a) = 0 なら (x - a) は P(x) の因数。

解 a3

🔑 因数定理の核心

①P(a) = 0 ⟺ (x - a) は P(x) の因数

②グラフ：x軸との交点が因数を示す

③高次式の因数分解の入口 = 整数解探し

因数定理の活用法

因数定理

P(a) = 0 ⟺ (x - a) は P(x) の因数

余り0 = 割り切れる = 因数

📐 高次式の因数分解戦略

①定数項の約数を候補に試す（±1, ±2, ±3, ...)

②P(候補) = 0 となる値を探す

③組立除法で商を求める

④商を再び因数分解

まとめ

剰余定理

(x - a) で割った余り R = P(a)

一回の代入で余り確定

因数定理

P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x - a) · Q(x)

余り0なら因数

🎯 試験ポイント

①剰余定理：(x-a) だけでなく (ax+b) も解を代入

②因数定理：定数項の約数から代入

③組立除法と組み合わせて高次式因数分解

④f(x) が (x-a)(x-b) で割り切れれば f(a)=f(b)=0

⑤剰余定理の逆利用：R が分かれば係数決定