剰余定理と因数定理 Remainder Theorem & Factor Theorem
剰余定理は、割り算を実際に行わなくても余りをすぐに求められる近道です。
多項式 f(x) を x − a で割った余りは、驚くことに f(a) ただ一つで決まり、一度の代入で終わります。
特に余りが 0 なら x − a は因数だという意味で、この因数定理を使えば高次式もすらすら因数分解できます。
このページでは a の値を変えながら、余りがどう変化し、いつ 0 になるかを実際に確かめてみましょう。
剰余定理 — 代入で余りが求まる
多項式 P(x) を (x - a) で割った余りはP(a) に等しい。除法せずに代入だけで余りが求まる強力な道具。
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P(x) = x³ - 2x² + x - 3 で P(a) を確認 💡 剰余定理の直観
①f(x) = (x-a)·Q(x) + R で x = a を代入
②f(a) = 0·Q(a) + R = R
③よって余り R = f(a)
剰余定理の公式
剰余定理
P(x) ÷ (x - a) の余り = P(a)
代入値がそのまま余り
一般化
P(x) ÷ (ax + b) の余り = P(- b a )
ax + b = 0 の解を代入
因数定理 — P(a)=0 なら因数
余りが0とは、グラフがx 軸と交わる ということ。P(a) = 0 なら (x - a) は P(x) の因数。
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P(a) = 0 → x軸との交点 = 因数 🔑 因数定理の核心
①P(a) = 0 ⟺ (x - a) は P(x) の因数
②グラフ：x軸との交点が因数を示す
③高次式の因数分解の入口 = 整数解探し
因数定理の活用法
因数定理
P(a) = 0 ⟺ (x - a) は P(x) の因数
余り0 = 割り切れる = 因数
📐 高次式の因数分解戦略
①定数項の約数を候補に試す（±1, ±2, ±3, ...)
②P(候補) = 0 となる値を探す
③組立除法で商を求める
④商を再び因数分解
実際に解いてみる
例題 1
多項式 P(x) = x³ − 2x + 5 を x − 2 で割った余りを求めよ。
1 剰余定理により x − a で割った余りは P(a)（a = 2）。
R = P(2)
2 x = 2 を代入する。
P(2) = 2³ − 2·2 + 5 = 8 − 4 + 5 = 9
▸ 余りは 9
x − a で割った余りは P(a) を代入するだけ。
例題 2
多項式 P(x) = x³ + ax + 2 が x + 1 で割り切れるとき、定数 a の値を求めよ。
1 因数定理により x + 1 で割り切れるなら P(−1) = 0。
P(−1) = 0
2 x = −1 を代入して方程式を解く。
(−1)³ + a(−1) + 2 = 1 − a = 0 ⇒ a = 1
▸ a = 1
割り切れるとは余りが 0、すなわち因数定理 P(a) = 0。
まとめ
剰余定理
(x - a) で割った余り R = P(a)
一回の代入で余り確定
因数定理
P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x - a) · Q(x)
余り0なら因数
教育庁 高1 学力評価 類型
多項式 P(x) を x − 1 で割った余りが 3、x + 2 で割った余りが −3。P(x) を (x − 1)(x + 2) で割った余りを R(x) = ax + b とするとき、ab の値は?
▸ ③ 2
1 剰余定理で P(1) = R(1)、P(−2) = R(−2) から二式を立てる。
a + b = 3, −2a + b = −3
2 連立して解くと 3a = 6、a = 2, b = 1。
a = 2, b = 1 ⇒ ab = 2
🎯 試験ポイント
①剰余定理：(x-a) だけでなく (ax+b) も解を代入
②因数定理：定数項の約数から代入
③組立除法と組み合わせて高次式因数分解
④f(x) が (x-a)(x-b) で割り切れれば f(a)=f(b)=0
⑤剰余定理の逆利用：R が分かれば係数決定