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平面ベクトル
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平面ベクトルの成分と内積
Dot Product
内積の幾何学的意味
2ベクトルのなす角と内積の符号関係
なす角 θ
45°
👀 内積とは?
①2ベクトルがどれだけ'同じ方向'かを数で表す
②緑の区間 = bをa方向に正射影した長さ
③鋭角(θ<90°)は正、直角は0、鈍角は負
④内積 = |a||b|cosθ
成分を用いた内積
2ベクトルの成分と内積計算結果
a
x
3
a
y
1
b
x
1
b
y
3
🔢 成分で計算
①a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂)のとき
②a · b = a₁b₁ + a₂b₂
③各成分同士をかけて足すだけ
④この値と |a||b|cosθ は常に等しい
内積公式
内積(幾何)
a · b = | a || b | cosθ
大きさの積となす角のコサインの積
内積(成分)
a · b = a
1
b
1
+ a
2
b
2
成分同士の積の和
なす角を求める
cosθ =
a · b
| a || b |
内積を大きさの積で割るとcosθ
🔍 2公式の連携
①幾何的定義から成分公式を導ける
②問題では成分公式が計算に便利
③なす角はcosθ公式で求める
④直交判定:a · b = 0 ↔ a ⊥ b
正射影と応用
正射影ベクトル
proj
a
b =
a · b
| a |²
a
bをa上に正射影したベクトル
正射影の長さ
| proj
a
b | =
| a · b |
| a |
正射影の大きさ(符号無視)
💡 正射影の意味
①正射影 = bの影をa方向に落としたもの
②物理:仕事(W) = 力 · 移動距離 = F · d cosθ = 内積
③数学:直線上の垂線の足座標
総まとめ
直交条件
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
内積が0なら2ベクトルは垂直
🎯 試験ポイント
①内積の2公式:|a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂
②cosθを求めてなす角判定
③a · b = 0 ↔ 垂直
④正射影ベクトルと長さの公式
⑤|a|² = a · a (大きさの2乗 = 自分との内積)
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