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高校3年生 (17-18歳)

数C 平面ベクトルの成分と内積 わかりやすく

Dot Product

内積は、2 つのベクトルがどれだけ同じ向きを向いているかを 1 つの数で表します。 なす角が鋭角なら正、直角なら 0、鈍角なら負になります。 図形としては、一方のベクトルをもう一方の向きに下ろした正射影の長さにかかわる値ですが、成分どうしを掛けて足すだけでも同じ値が出ます。 なす角を回すと内積は正から 0 を通って負に変わり、成分を動かすと a · b が成分からどう計算されるかがわかります。

内積の図形的な意味

45°
👀 図から読み取ること
①赤い a の大きさは 3、青い b の大きさは 2.5 で、なす角 θ だけが変わる
②緑の線分は b を a の向きに下ろした正射影で、符号つきの長さは |b| cos θ である
③内積は a · b = |a||b| cos θ なので、a の大きさに緑の線分の符号つきの長さを掛けた値である
④θ < 90° なら正、θ = 90° なら 0、θ > 90° なら負である

成分による内積

3
1
1
3
🔢 成分で計算する
①a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂) のとき
②a · b = a₁b₁ + a₂b₂ である
③成分どうしを掛けて足すだけでよい
④この値はいつも |a||b| cos θ に等しいので、逆になす角を求められる

内積の公式

内積（図形）
a · b = | a || b | cosθ
2 つのベクトルの大きさと、なす角の余弦を掛けた値
内積（成分）
a · b = a1 b1 + a2 b2
同じ位置の成分どうしを掛けて足す
なす角を求める
cosθ = a · b| a || b |
内積を大きさの積で割ると cos θ が出る
🔍 2 つの公式のつながり
①余弦定理を使うと、図形的な定義から成分の公式を導ける
②計算には成分の公式が便利である
③なす角は cos θ の公式で求める
④零ベクトルでない 2 つのベクトルは、a · b = 0 のとき垂直である

正射影

正射影ベクトル
proja b = a · b| a |² a
b を a の向きに下ろした正射影ベクトル
正射影の長さ
| proja b | = | a · b || a |
正射影ベクトルの大きさ（符号はとる）
💡 正射影が使われるところ
①正射影は、b を a の向きの直線に垂直に下ろした影である
②物理では、仕事は力と変位の内積 F · d = |F||d| cos θ である
③直線に下ろした垂線の足を求めるときも正射影を使う

例題

例題 1
a = (1, 2), b = (3, −1) のとき、a · b を求めよ。
1
成分の公式 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ に代入する。
a · b = 1 · 3 + 2 · (−1)
2
各項を計算して足す。
a · b = 3 − 2 = 1
▸ a · b = 1
成分どうしを掛けて足せば、なす角を知らなくても内積が求まる。
例題 2
a = (1, 2), b = (3, −1) のとき、2 つのベクトルのなす角 θ について cos θ を求めよ。
1
内積と 2 つのベクトルの大きさを求める。
a · b = 1, |a| = √5, |b| = √10
2
cos θ = (a · b)/(|a||b|) に代入して整理する。
cosθ = 1√5·√10 = 1√50 = √210
▸ cos θ = √2/10
内積と大きさを別々に求めてから cos θ の公式に代入すれば、なす角が出る。

まとめ

垂直条件
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
零ベクトルでない 2 つのベクトルは、内積が 0 のとき垂直である
2022 評価院 模試 数学（幾何） 類題
2 つのベクトル a = (2, 1), b = (k, −4) が垂直のとき、k の値は。
①−2
②1
③2
④3
⑤4
▸ ③ 2
1
2 つのベクトルが垂直なら a · b = 0 である。
2
成分で内積を立てて 0 とおき、k を求める。
a · b = 2k − 4 = 0 ⇒ k = 2
🎯 試験のポイント
①内積の 2 つの式：|a||b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂
②cos θ を求めてなす角を判断する
③a · b = 0 なら垂直である
④正射影ベクトルと正射影の長さの公式を区別する
⑤|a|² = a · a である
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