平面ベクトルの成分と内積

Dot Product

内積は、2つのベクトルがどれだけ「同じ向き」を向いているかを1つの数で教えてくれます。同じ側を向けば(鋭角)正、直角なら0、反対側に開けば(鈍角)負になります。幾何的には、一方のベクトルを他方に落とした影(正射影)の長さと関係しますが、不思議なことに成分どうしを掛けて足すだけで同じ値が得られます。なす角スライダーを回して符号が正から0、負へ変わる様子を見て、成分を動かしてa·bの値がどう計算されるかを確かめてみましょう。

内積の幾何学的意味

なす角 θ45°

👀 内積とは?

①2ベクトルがどれだけ'同じ方向'かを数で表す

②緑の区間 = bをa方向に正射影した長さ

③鋭角(θ<90°)は正、直角は0、鈍角は負

④内積 = |a||b|cosθ

成分を用いた内積

a_x3

a_y1

b_x1

b_y3

🔢 成分で計算

①a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂)のとき

②a · b = a₁b₁ + a₂b₂

③各成分同士をかけて足すだけ

④この値と |a||b|cosθ は常に等しい

内積公式

内積(幾何)

a · b = | a || b | cosθ

大きさの積となす角のコサインの積

内積(成分)

a · b = a₁ b₁ + a₂ b₂

成分同士の積の和

なす角を求める

cosθ = a · b| a || b |

内積を大きさの積で割るとcosθ

🔍 2公式の連携

①幾何的定義から成分公式を導ける

②問題では成分公式が計算に便利

③なす角はcosθ公式で求める

④直交判定:a · b = 0 ↔ a ⊥ b

正射影と応用

正射影ベクトル

proj_a b = a · b| a |² a

bをa上に正射影したベクトル

正射影の長さ

| proj_a b | = | a · b || a |

正射影の大きさ(符号無視)

💡 正射影の意味

①正射影 = bの影をa方向に落としたもの

②物理:仕事(W) = 力 · 移動距離 = F · d cosθ = 内積

③数学:直線上の垂線の足座標

実際に解いてみる

例題 1

a=(1, 2), b=(3, −1) のとき a · b を求めよ。

成分公式 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ に代入する。

a · b = 1·3 + 2·(−1)

各項を計算して足す。

a · b = 3 − 2 = 1

▸ a · b = 1

成分同士をかけて足すだけ — なす角を知らなくても内積は求められる。

例題 2

a=(1, 2), b=(3, −1) のとき、2ベクトルのなす角 θ について cosθ を求めよ。

内積と2ベクトルの大きさを求める。

a · b = 1, |a| = √5, |b| = √10

cosθ = (a · b)/(|a||b|) に代入して整理する。

cosθ = 1√5·√10 = 1√50 = √210

▸ cosθ = √2/10

先に内積と大きさを別々に求め、cosθ 公式に入れればなす角が出る。

総まとめ

直交条件

a ⊥ b ⟺ a · b = 0

内積が0なら2ベクトルは垂直

2022 評価院模試数学(幾何) 類題

2ベクトル a=(2, 1), b=(k, −4) が互いに垂直のとき、k の値は?

①−2

②1

③2

④3

⑤4

▸ ③ 2

2ベクトルが垂直なら a · b = 0 である。

成分で内積を立てて 0 とおき、k を求める。

a · b = 2k − 4 = 0 ⇒ k = 2

🎯 試験ポイント

①内積の2公式:|a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

②cosθを求めてなす角判定

③a · b = 0 ↔ 垂直

④正射影ベクトルと長さの公式

⑤|a|² = a · a (大きさの2乗 = 自分との内積)