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単語帳
高校3年生 (17-18歳)

ベクトルの演算

Vector Operations

ベクトルは向きと大きさをあわせ持つ矢印です。 2本の矢印をつなぐと平行四辺形の対角線がそのまま2ベクトルの和になり、矢印に数(スカラー)を掛けると向きはそのままで長さだけ伸び縮みしたり、反対向きに反転したりします。 おもしろいのは、これらがすべてx成分どうし、y成分どうしを別々に足したり掛けたりする計算にきれいに収まる点です。 スライダーでaとbの成分を動かして和ベクトルが描かれる様子を見て、kを変えて矢印が伸びたり反転したりするのを確かめてみましょう。

ベクトルの加法
3
2
1
3
👀 ベクトル加法の直感
①赤の矢印aと青の矢印bは原点Oから出発
②2矢印の先を対角線で結ぶ平行四辺形を作る
③対角線が和ベクトル a+b (金)
④成分同士を足せばよい:(a_x+b_x, a_y+b_y)
スカラー倍
1.5
↔️ スカラー倍とは?
①k > 1なら同方向に伸びる
②0 < k < 1なら同方向に縮む
③k < 0なら反対方向に反転
④k = 0なら零ベクトル
ベクトル演算法則
ベクトル加法(成分)
a + b = (ax + bx, ay + by)
各成分同士を足す
スカラー倍(成分)
ka = (kax, kay)
各成分にkを掛ける
📐 演算法則
①交換法則:a + b = b + a
②結合法則:(a + b) + c = a + (b + c)
③分配法則:k(a + b) = ka + kb
④分配法則:(k + m)a = ka + ma
位置ベクトルと内分·外分
内分点の位置ベクトル
p = na + mbm + n
線分ABをm:nに内分する点P
中点の位置ベクトル
p = a + b2
m = n = 1 の特殊な場合
🎯 内分点公式の覚え方
①m:n内分 → 相手側の係数を交差
②分母は常にm+n
③中点は単純な平均
④外分:分母がm−n(符号注意)
実際に解いてみる
例題 1
a=(2, 3), b=(−1, 4) のとき a+b と 2a−b を求めよ。
1
加法は成分同士を足す。
a + b = (2+(−1), 3+4) = (1, 7)
2
スカラー倍してから引くのも成分同士で計算する。
2a − b = (4−(−1), 6−4) = (5, 2)
a+b=(1, 7), 2a−b=(5, 2)
ベクトルの演算はx成分同士、y成分同士を別々に計算すればよい。
例題 2
a=(3, −4) のとき 大きさ |a| と a 方向の単位ベクトルを求めよ。
1
大きさはピタゴラスの定理で求める。
| a | = √(3² + (−4)²) = √25 = 5
2
単位ベクトルは a を自身の大きさで割る。
a / | a | = (35, −45)
|a|=5, 単位ベクトル=(3/5, −4/5)
単位ベクトルは向きが同じで大きさが1のベクトルである。
総まとめ
ベクトルの大きさ
| a | = √(ax² + ay²)
ピタゴラスの定理で大きさ(長さ)を計算
2023 評価院 模試 数学(幾何) 類題
2つのベクトル a=(1, 2), b=(3, k) について a + b = (4, 5) のとき、k の値は?
1
2
3
4
5
③ 3
1
加法は成分同士を足すので、y成分を比較する。
2
y成分:2+k=5。
2 + k = 5 ⇒ k = 3
🎯 試験ポイント
①ベクトル加法は成分同士の加算
②スカラー倍は方向(符号)と大きさ(絶対値)を変える
③平行条件:a = kb (零でないスカラーkが存在)
④内分点公式の係数交差順序を暗記
⑤単位ベクトル:a / |a| (大きさ1)
← 前へ
双曲線
次へ →
内積
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