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高校3年生 (17-18歳)

数C ベクトルの演算 わかりやすく

Vector Operations

ベクトルは大きさと向きをあわせ持つ量なので、矢印で表します。 2 つのベクトルを原点から出して平行四辺形をつくると、その対角線が 2 つのベクトルの和になり、ベクトルに実数 k を掛けると、向きはそのままか反対になって、長さだけが |k| 倍になります。 これらの計算はどれも x 成分どうし、y 成分どうしで別々にできるので、図で見たものと成分で計算したものはいつも一致します。 成分のスライダーで a と b を変えると和のベクトルとその成分がいっしょに変わり、k を動かすと矢印が伸び縮みして、k が負のときに向きが反対になります。

ベクトルの和

3
2
1
3
👀 図から読み取ること
①赤い矢印 a と青い矢印 b が原点 O から出ている
②点線は a の先から b だけ、b の先から a だけ進んだ道で、2 つが出会う点が平行四辺形の 4 つ目の頂点である
③原点からその頂点まで引いた金色の対角線が和のベクトル a + b である
④上の帯のように x 成分どうし、y 成分どうしを足しても同じ結果になる

実数倍

1.5
↔️ 実数倍の意味
①k > 1 なら同じ向きに伸びる
②0 < k < 1 なら同じ向きに縮む
③k < 0 なら向きが反対になり、長さは |k| 倍になる
④k = 0 なら零ベクトルになる
⑤零ベクトルでない 2 つのベクトル a, b について、a = kb となる実数 k があれば 2 つは平行である

ベクトルの演算法則

ベクトルの和（成分）
a + b = (ax + bx, ay + by)
成分どうしを足す
実数倍（成分）
ka = (kax, kay)
各成分に k を掛ける
📐 演算法則
①交換法則：a + b = b + a
②結合法則：(a + b) + c = a + (b + c)
③分配法則：k(a + b) = ka + kb
④分配法則：(k + m)a = ka + ma
⑤零ベクトルでない a をその大きさ |a| で割ると、同じ向きの単位ベクトルになる

位置ベクトルと内分点・外分点

内分点の位置ベクトル
p = na + mbm + n
線分 AB を m : n に内分する点 P の位置ベクトル
中点の位置ベクトル
p = a + b2
m = n = 1 の場合である
🎯 内分点の公式の覚え方
①m : n に内分するときは、a に n、b に m をたすきに掛ける
②分母は m + n である
③中点は 2 つの位置ベクトルの平均である
④m : n に外分するときは分母が m − n になり、a の係数の符号が変わる

例題

例題 1
a = (2, 3), b = (−1, 4) のとき、a + b と 2a − b を求めよ。
1
和は成分どうしを足す。
a + b = (2 + (−1), 3 + 4) = (1, 7)
2
実数倍してから引くのも成分どうしで計算する。
2a − b = (4 − (−1), 6 − 4) = (5, 2)
▸ a + b = (1, 7), 2a − b = (5, 2)
ベクトルの演算は、x 成分どうし、y 成分どうしで別々に計算すればよい。
例題 2
a = (3, −4) のとき、大きさ |a| と a と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。
1
大きさは三平方の定理で求める。
| a | = √(3² + (−4)²) = √25 = 5
2
単位ベクトルは a をその大きさで割ったものである。
a / | a | = (35, −45)
▸ |a| = 5、単位ベクトル (3/5, −4/5)
単位ベクトルは、向きが同じで大きさが 1 のベクトルである。

まとめ

ベクトルの大きさ
| a | = √(ax² + ay²)
三平方の定理で大きさを計算する
2023 評価院 模試 数学（幾何） 類題
2 つのベクトル a = (1, 2), b = (3, k) について a + b = (4, 5) のとき、k の値は。
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
和は成分どうしで計算するので、y 成分をくらべる。
2
y 成分から 2 + k = 5 である。
2 + k = 5 ⇒ k = 3
🎯 試験のポイント
①ベクトルの和は成分どうしを足す
②実数倍は k の符号で向きを、|k| で大きさを変える
③平行条件は、0 でない実数 k について a = kb となることである
④内分点では、P が A に近いほど a の係数が大きい
⑤単位ベクトルは a / |a| で、大きさは 1 である
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双曲線
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平面ベクトルの成分と内積

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