幾何›空間図形と空間座標

空間図形

Space Figures

空間座標軸
30°
👀 3次元空間
①平面(2D)にy軸を加えると空間(3D)
②x軸(赤)、y軸(緑)、z軸(青)は互いに垂直
③視点を回して立体感を感じよう
④すべての点は(x,y,z)の3座標で表される
直線と平面の位置関係
0
📐 位置関係
①0:2平面が平行(交わらない)
②1:2平面が交わって交線を生成
③2:直線が平面に垂直(平面上のすべての直線と垂直)
④空間には'ねじれの位置'もある — 交わらず平行でない2直線
二面角
60°
📖 二面角とは?
①2半平面が共有する交線(辺)がある
②交線上の一点から各平面上に交線と垂直な半直線を引く
③この2半直線のなす角が二面角
④本を開いた角度と同じ概念
空間における垂直·平行の定理
三垂線の定理
PA ⊥ ℓ ⟺ PH ⊥ ℓ (HはAから平面への垂線の足)
平面上の直線との垂直関係を垂線の足で判定
平行判定
ℓ ∥ α ⟺ ℓ ∥ m (m ⊂ α なる直線mが存在)
平面内のある直線と平行なら、直線は平面と平行
🔍 核心の定理
①直線 ⊥ 平面:平面上のすべての直線と垂直
②2平面 ⊥:一方に垂直な直線が他方に含まれる
③三垂線の定理:入試頻出
④図を描きながら証明を追うと理解が早い
総まとめ
正射影の面積
S' = S cosθ
平面図形の正射影面積 = 元の面積 × cos(二面角)
🎯 試験ポイント
①空間における直線·平面の5つの位置関係を判別
②三垂線の定理 — 条件と結論を正確に
③二面角を求める — 交線に垂直な2半直線
④正射影面積 = 元の面積 × cosθ
⑤ねじれの位置にある2直線間の距離