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高校3年生 (17-18歳)

数C 空間図形 わかりやすく

Space Figures

紙の上の平面では、2 本の直線は交わるか平行かのどちらかです。 空間では、交わりも平行でもないねじれの位置が加わり、直線と平面、平面と平面のあいだにも、平行・交わる・垂直といった関係が現れます。 2 つの平面の開き具合は二面角で測ります。開いた本の角度を思い浮かべるとわかりやすいでしょう。 視点を回すと x・y・z 軸と点 P の位置が立体的に見え、二面角を変えると、交線に垂直な 2 本の半直線のなす角もいっしょに変わります。

空間の座標軸

30°
👀 3 次元空間
①平面の x 軸と y 軸のどちらにも垂直な z 軸を立てると空間になる
②3 本の軸はたがいに垂直で、上を向く軸を z 軸とする
③点 P(2, 2, 3) から xy 平面に垂線を下ろすと足は H(2, 2, 0) で、P の z 座標 3 は線分 PH の長さである
④空間の点はすべて 3 つの座標 (x, y, z) で表す

直線と平面の位置関係

∥
📐 位置関係
①∥ : 2 つの平面が平行で、交わらない
②∩ : 2 つの平面が交わり、交線という 1 本の直線ができる
③ℓ ⊥ α : 直線が平面に垂直なら、平面上のすべての直線と垂直である
④2 本の直線には、交わる場合と平行な場合のほかに、交わりも平行でもないねじれの位置がある

二面角

60°
📖 二面角の測り方
①2 つの半平面は交線（緑）を共有する
②交線上の 1 点から、それぞれの半平面上に交線と垂直な半直線を 1 本ずつ引く
③この 2 本の半直線のなす角 θ が二面角である
④本を開いたときの 2 つの表紙のあいだの角が二面角である

空間における垂直と平行

三垂線の定理
PH ⊥ α のとき (PO ⊥ ℓ ⟺ HO ⊥ ℓ)。P は平面外の点、H は垂線の足、O は平面上の直線 ℓ 上の点
平面外の点と平面上の直線が垂直かどうかを、垂線の足を使って判定する
直線と平面の平行
ℓ ∥ α ⟺ ℓ ∥ m（m ⊂ α となる直線 m がある）
平面外の直線が平面上のある直線と平行なら、その直線は平面と平行である
🔍 かなめの定理
①直線が平面に垂直なら、平面上のすべての直線と垂直である
②ある平面に垂直な直線をふくむ平面は、その平面と垂直である
③三垂線の定理を使うと、垂線の足を経由して垂直関係を判定できる
④定理ごとに図をかいて垂線の足を書きこむと、証明を追いやすい

例題

例題 1 — 三垂線の定理
平面 α 上に直線 ℓ があり、α の外に点 P がある。P から α に下ろした垂線の足を H、H から ℓ に下ろした垂線の足を O とする。PH = 3, HO = 4 のとき、PO の長さを求めよ。
1
三垂線の定理より PO ⊥ ℓ で、三角形 PHO は H で直角である。
PH ⊥ α, HO ⊥ ℓ ⇒ PO ⊥ ℓ
2
直角三角形 PHO で三平方の定理を使い、斜辺 PO を求める。
PO = √(PH² + HO²) = √(9 + 16) = √25
▸ PO = 5
PH は平面 α に垂直なので、α 上の線分 HO とも垂直である。だから三角形 PHO を直角三角形として使える。
例題 2 — 正射影
平面 α と 60° をなす平面 β 上に、面積 12 の図形がある。この図形を α 上に正射影した面積を求めよ。
1
正射影の面積は、もとの面積に 2 平面のなす角の余弦を掛けた値である。
S′ = S · cos θ
2
S = 12, θ = 60° を代入する。
S′ = 12 · cos 60° = 12 · (1/2)
▸ S′ = 6
角が大きいほど cos の値は小さくなり、正射影も小さくなる。90° なら正射影の面積は 0 である。

まとめ

正射影の面積
S′ = S cos θ
平面図形を別の平面に正射影した面積は、もとの面積に 2 平面のなす角の余弦を掛けたものである
2021 評価院 模試 数学（幾何） 類題
1 辺の長さが 4 の正方形が平面 α と 45° をなすとき、この正方形を α 上に正射影した面積は。
①8
②8√2
③16
④4√2
⑤4
▸ ② 8√2
1
正方形の面積は 4 × 4 = 16 である。
2
正射影の面積の公式に S = 16, θ = 45° を代入する。
S′ = 16 · cos 45° = 16 · (√2/2) = 8√2
🎯 試験のポイント
①空間における直線と平面の位置関係を区別する
②三垂線の定理は条件と結論を正確に書く
③二面角は交線に垂直な 2 本の半直線で測る
④正射影の面積 = もとの面積 × cos θ
⑤ねじれの位置にある 2 直線の距離を求められるようにする
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最終更新

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