例題 1 — 三垂線の定理
平面 α 上の直線 ℓ 外の点 P から α に下ろした垂線の足を H、H から ℓ に下ろした垂線の足を O とする。PH=3、HO=4 のとき PO の長さを求めよ。
1三垂線の定理により PO⊥ℓ となり、三角形 PHO は H で直角になる。
PH ⊥ α, HO ⊥ ℓ ⇒ PO ⊥ ℓ
2直角三角形 PHO で三平方の定理を用いて斜辺 PO を求める。
PO = √(PH² + HO²) = √(9 + 16) = √25
▸ PO = 5
PH は平面に垂直なので PH は HO とも垂直 — よって三角形 PHO を直角三角形として扱える。
例題 2 — 正射影
平面 α と 60° の二面角をなす平面 β 上に面積 12 の図形がある。この図形の α への正射影の面積を求めよ。
1正射影の面積は、元の面積に2平面のなす角の余弦を掛けたものである。
S' = S · cosθ
2S=12、θ=60° を代入する。
S' = 12 · cos60° = 12 · (1/2)
▸ S' = 6
角が大きいほど cos の値が小さくなり正射影も小さくなる — 90° なら正射影の面積は 0 になる。