空間座標

Space Coordinates

平面上の点が (x, y) の二つの数で決まるように、空間の点は (x, y, z) の三つの数で位置が決まります。高さを表す z を一つ加えるだけで、床にあった点が空中に浮かび上がるようなものです。二点間の距離も球の方程式も、平面で使っていた公式に z の一層を足すだけでそのまま三次元へ広がります。 x, y, z のスライダーを動かして点が空間のどこに置かれるかと、座標平面へ落ちる影(正射影)を確かめ、半径 r のスライダーで球が大きく小さくなる様子を見てみましょう。

3次元座標系

x座標3

y座標4

z座標2

👀 空間上の点

①点P(x,y,z)は3つの座標で位置が決まる

②点線は各座標軸と座標平面への正射影

③xy平面上の影:(x,y,0)

④z軸上の影:(0,0,z)

2点間の距離

空間2点間の距離

d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)

ピタゴラスの定理を3次元に拡張

📐 距離公式の直感

①2D距離公式:√(Δx² + Δy²)

②3DはΔz²を一つ加えるだけ

③点線で描いた直角経路をたどると

④Δx → Δy → Δz の順に直角三角形を2回適用

球の方程式

半径 r3

球の方程式

(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²

中心C(a,b,c)、半径r

🌐 球とは?

①一点(中心)から等距離(半径)にある点の集合

②円の方程式を3次元に拡張

③展開すると x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 の形

④一般形を完全平方式に変換すれば中心と半径が分かる

内分点と重心

内分点(3D)

P = (nx₁+mx₂m+n, ny₁+my₂m+n, nz₁+mz₂m+n)

線分ABをm:nに内分する点

三角形の重心

G = (x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3, z₁+z₂+z₃3)

3頂点座標の平均

💡 内分点の覚え方

①2D内分点公式と構造が同じ

②z座標を一つ加えるだけ

③中点は m=n=1 の特殊な場合:各座標の平均

④重心は3座標をそれぞれ平均

実際に解いてみる

例題 1

2点 A(1, 2, 3), B(4, 6, 3) の距離を求めよ。

各座標の差を2乗して足す。

AB = √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²)

2乗の和を計算し、根号を外す。

AB = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5

▸ 5

z座標が等しいと Δz=0 となり、2次元の距離公式と同じになる。

例題 2

球 x²+y²+z²−2x+4y−6z+5=0 の中心の座標と半径を求めよ。

x, y, z についてそれぞれ完全平方式にまとめる。

x²−2x = (x−1)²−1, y²+4y = (y+2)²−4, z²−6z = (z−3)²−9

標準形と比べて中心と半径を読み取る。

(x−1)² + (y+2)² + (z−3)² = 1+4+9−5 = 9

▸ 中心 (1, −2, 3), 半径 3

右辺が r² なので √9=3 が半径。右辺が負なら球は存在しない。

総まとめ

原点からの距離

d = √(x² + y² + z²)

原点Oから点P(x,y,z)までの距離

2023 評価院模試数学(幾何) 類題

2点 A(2, 0, 1), B(0, 4, 3) を直径の両端とする球の中心の座標は?

①(1, 2, 2)

②(2, 2, 1)

③(1, 2, 1)

④(2, 4, 2)

⑤(1, 4, 2)

▸ ① (1, 2, 2)

直径の両端の中点が球の中心である。

各座標を平均する。

((2+0)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (1, 2, 2)

🎯 試験ポイント

①空間距離公式:2DにΔz²を追加

②球の方程式:円の方程式にz項を追加

③一般形 → 標準形への変換で中心·半径

④内分点·重心:2Dと同じ構造、z座標追加

⑤対称点:軸·平面·点対称をそれぞれ練習

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空間図形

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