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空間図形と空間座標
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空間座標
Space Coordinates
3次元座標系
空間上の点P(x,y,z)と座標軸への正射影
x座標
3
y座標
4
z座標
2
👀 空間上の点
①点P(x,y,z)は3つの座標で位置が決まる
②点線は各座標軸と座標平面への正射影
③xy平面上の影:(x,y,0)
④z軸上の影:(0,0,z)
2点間の距離
空間で2点A,Bの距離と成分分解
空間2点間の距離
d = √((x
2
−x
1
)² + (y
2
−y
1
)² + (z
2
−z
1
)²)
ピタゴラスの定理を3次元に拡張
📐 距離公式の直感
①2D距離公式:√(Δx² + Δy²)
②3DはΔz²を一つ加えるだけ
③点線で描いた直角経路をたどると
④Δx → Δy → Δz の順に直角三角形を2回適用
球の方程式
中心C(a,b,c)、半径rの球
半径 r
3
球の方程式
(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²
中心C(a,b,c)、半径r
🌐 球とは?
①一点(中心)から等距離(半径)にある点の集合
②円の方程式を3次元に拡張
③展開すると x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 の形
④一般形を完全平方式に変換すれば中心と半径が分かる
内分点と重心
内分点(3D)
P = (
nx
1
+mx
2
m+n
,
ny
1
+my
2
m+n
,
nz
1
+mz
2
m+n
)
線分ABをm:nに内分する点
三角形の重心
G = (
x
1
+x
2
+x
3
3
,
y
1
+y
2
+y
3
3
,
z
1
+z
2
+z
3
3
)
3頂点座標の平均
💡 内分点の覚え方
①2D内分点公式と構造が同じ
②z座標を一つ加えるだけ
③中点は m=n=1 の特殊な場合:各座標の平均
④重心は3座標をそれぞれ平均
総まとめ
原点からの距離
d = √(x² + y² + z²)
原点Oから点P(x,y,z)までの距離
🎯 試験ポイント
①空間距離公式:2DにΔz²を追加
②球の方程式:円の方程式にz項を追加
③一般形 → 標準形 への変換で中心·半径
④内分点·重心:2Dと同じ構造、z座標追加
⑤対称点:軸·平面·点対称をそれぞれ練習
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