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高校3年生 (17-18歳)

数C 空間座標 わかりやすく

Space Coordinates

平面の点は (x, y) の 2 つの数で位置が決まりますが、空間ではそこに高さを表す z を加えて (x, y, z) の 3 つの数で決めます。 床を xy 平面とし、そこから z 軸を真上に立てると、点 P から床に下ろした垂線の足 H が (x, y, 0) で、その垂線の長さが z です。 2 点間の距離も球の方程式も、平面で使っていた式に z の項を 1 つ足した形なので、新しく覚えることは思ったより少なくて済みます。 x・y・z のスライダーで P を動かすと床の影と原点からの距離が一緒に変わり、2 つ目の図は A から同じ P までの距離を測り、3 つ目の図では r のスライダーで球の大きさと方程式の右辺が一緒に変わります。

座標空間の点

3
4
2
👀 3 つの座標の読み方
①P から床に下ろした垂線の足 H は (x, y, 0) で、線分 PH の長さが z 座標である
②H から x 軸・y 軸へ引いた点線が届く目盛りが x 座標と y 座標である
③P から z 軸へ引いた点線は、高さ z を z 軸上の点 (0, 0, z) に移す
④OH と PH を 2 辺とする直角三角形の斜辺が OP なので、原点から P までの距離は √(x² + y² + z²) である

2 点間の距離

2 点間の距離
d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)
三平方の定理を 2 回使った結果
📐 距離の公式ができる道筋
①A から x 方向に Δx、y 方向に Δy 進むと床と平行な直角三角形ができ、その斜辺は √(Δx² + Δy²) である
②そこから上か下へ Δz 進むと B に着き、さっきの斜辺と Δz が再び直角をなす
③2 つ目の直角三角形の斜辺が d なので、d² = Δx² + Δy² + Δz² である
④A は (1, 1, 1) に固定し、B は 1 つ目の図の点 P に合わせて動く。P を (1, 1, 1) に動かすと d = 0 になる

球の方程式

3
球の方程式
(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²
中心 C(a, b, c)、半径 r
🌐 球を式で表す
①球は、定点 C からの距離が同じ値 r である点 P をすべて集めた図形である
②CP = r を距離の公式で書き、両辺を 2 乗すると (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r² になる
③展開すると x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 の形になり、逆にこの形で与えられたら文字ごとに平方完成して中心と半径を求める
④図では中心はそのままで r だけを変える。r が 2 倍になると右辺の r² は 4 倍になる

内分点と重心

線分の内分点
P = (nx1+mx2m+n, ny1+my2m+n, nz1+mz2m+n)
線分 AB を m : n に内分する点
三角形の重心
G = (x1+x2+x33, y1+y2+y33, z1+z2+z33)
3 頂点の座標の平均
💡 平面の公式に z を 1 行足す
①内分点は x・y・z 座標それぞれに同じ比 m : n を当てはめて求める
②平面の公式に z 座標の行を 1 つ足した形である
③中点は m = n = 1 の場合で、各座標の平均になる
④重心は 3 頂点の x・y・z 座標をそれぞれ平均した点である

例題

例題 1
2 点 A(1, 2, 3)、B(4, 6, 3) の間の距離を求めよ。
1
座標ごとに差をとって 2 乗し、すべて足す。
AB = √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²)
2
2 乗の和 25 の平方根をとる。
AB = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
▸ 5
2 点の z 座標が等しく Δz = 0 なので、同じ高さの平面上で測る平面の距離と同じ値になる。
例題 2
球 x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 5 = 0 の中心の座標と半径を求めよ。
1
x、y、z の項をそれぞれ平方完成する。
x²−2x = (x−1)²−1, y²+4y = (y+2)²−4, z²−6z = (z−3)²−9
2
標準形と見比べて中心と半径を読む。
(x−1)² + (y+2)² + (z−3)² = 1+4+9−5 = 9
▸ 中心 (1, −2, 3)、半径 3
右辺の 9 が r² なので半径は 3 である。平方完成した後の右辺が負になれば、その式を満たす点はない。

まとめ

原点からの距離
d = √(x² + y² + z²)
原点 O から点 P(x, y, z) までの距離
2023 評価院 模試 数学（幾何） 類題
2 点 A(2, 0, 1)、B(0, 4, 3) を直径の両端とする球の中心の座標は？
①(1, 2, 2)
②(2, 2, 1)
③(1, 2, 1)
④(2, 4, 2)
⑤(1, 4, 2)
▸ ① (1, 2, 2)
1
直径 AB の中点が球の中心である。
2
2 点の x・y・z 座標をそれぞれ平均する。
((2+0)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (1, 2, 2)
🎯 試験のポイント
①2 点間の距離は平面の公式に (z₂ − z₁)² を 1 つ足す
②一般形で与えられた球の方程式は平方完成して中心と半径を読む。右辺が 0 なら 1 点、負なら表す図形はない
③内分点・中点・重心は座標ごとに計算する
④対称点は、軸・座標平面・原点のどれについての対称かによって、符号が変わる座標が違う
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空間図形

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