双曲線

Hyperbola

双曲線は、二つの焦点までの距離の「差」がいつも一定になる点が集まった、二つの枝に分かれた曲線です。楕円が「距離の和が一定」の曲線なら、双曲線はその相棒で「距離の差が一定」の曲線だと対にして覚えると簡単です。二つの枝は漸近線という直線に限りなく近づきますが、決して触れることはありません。 a と b のスライダーを動かして、二つの焦点までの距離の差がいつも 2a に保たれることと、基本長方形の対角線がそのまま漸近線になることを確かめてみましょう。

双曲線の定義

a (実軸の半長)2

b (虚軸の半長)1.5

👀 双曲線とは?

①二つの焦点 F, F'がある

②双曲線上の点Pで |PF' − PF| = 2a (差の絶対値が一定)

③楕円は'和が一定'、双曲線は'差が一定'

④2つの分岐に分かれた曲線

漸近線と長方形

📐 漸近線の秘密

①横a、縦bの長方形を原点に描く

②その対角線を無限に延長したものが漸近線

③双曲線は漸近線に限りなく近づくが決して触れない

④漸近線:y = ±(b/a)x

標準形

双曲線標準形(横長)

x²a² − y²b² = 1

焦点 (±c, 0)、漸近線 y = ±(b/a)x

双曲線標準形(縦長)

y²a² − x²b² = 1

焦点 (0, ±c)、漸近線 y = ±(a/b)x

🔍 楕円との比較

①楕円:+ 符号 → 閉曲線

②双曲線:− 符号 → 開曲線(2分岐)

③楕円:c² = a² − b² (a > b)

④双曲線:c² = a² + b² (a,bの大小不問)

焦点と離心率

焦点関係式

c² = a² + b²

焦点距離² = 実軸² + 虚軸²

離心率

e = ca > 1

e→1なら漸近線が狭く、eが大きいと漸近線が広い

🎯 離心率の直感

①双曲線の離心率は常に e > 1

②e = √(1 + b²/a²)

③b/aが大きいほど漸近線の傾きが急でeが大きい

④直角双曲線(a=b)なら e = √2、漸近線は y = ±x

実際に解いてみる

例題 1

双曲線 x²/9 − y²/16 = 1 の焦点の座標と漸近線の方程式を求めよ。

a²=9, b²=16 より a=3, b=4。焦点は c²=a²+b² で求める。

c² = 9 + 16 = 25, c = 5

横長なので焦点は x 軸上、漸近線は y = ±(b/a)x。

焦点 (±5, 0), 漸近線 y = ±43x

▸ 焦点 (±5, 0), 漸近線 y = ±(4/3)x

双曲線は c² = a² + b²(足し算)。楕円の c² = a² − b² と符号が反対である点に注意。

例題 2

二焦点が (±5, 0)、二焦点までの距離の差が 6 である双曲線の方程式を求めよ。

距離の差 2a = 6 より a = 3、焦点から c = 5。

2a = 6 ⇒ a = 3, c = 5

b² = c² − a² で b² を求め、標準形に代入する。

b² = 25 − 9 = 16, x²9 − y²16 = 1

▸ x²/9 − y²/16 = 1

定義 |PF′ − PF| = 2a から a を先に決めれば、b² は c² − a² で続いて求まる。

総まとめ

核心比較

x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²

'−'符号が双曲線の象徴 | cは常にaより大きい

2021 評価院模試数学(幾何) 類題

双曲線 x²/4 − y²/5 = 1 の二焦点間の距離は?

①6

②5

③4

④3

⑤2

▸ ① 6

a²=4, b²=5 なので c² = a² + b² = 4 + 5 = 9、c = 3。

二焦点間の距離は 2c。

2c = 2 × 3 = 6

🎯 試験ポイント

①定義:|PF' − PF| = 2a

②c² = a² + b² (楕円と符号反対!)

③漸近線 y = ±(b/a)x — 頻出

④離心率 e > 1

⑤楕円·放物線·双曲線の離心率比較:楕円(0<e<1)、放物線(e=1)、双曲線(e>1)