幾何›二次曲線

双曲線

Hyperbola

双曲線の定義
2
1.5
👀 双曲線とは?
①二つの焦点 F, F'がある
②双曲線上の点Pで |PF' − PF| = 2a (差の絶対値が一定)
③楕円は'和が一定'、双曲線は'差が一定'
④2つの分岐に分かれた曲線
漸近線と長方形
📐 漸近線の秘密
①横a、縦bの長方形を原点に描く
②その対角線を無限に延長したものが漸近線
③双曲線は漸近線に限りなく近づくが決して触れない
④漸近線:y = ±(b/a)x
標準形
双曲線標準形(横長)
x²a² − y²b² = 1
焦点 (±c, 0)、漸近線 y = ±(b/a)x
双曲線標準形(縦長)
y²a² − x²b² = 1
焦点 (0, ±c)、漸近線 y = ±(a/b)x
🔍 楕円との比較
①楕円:+ 符号 → 閉曲線
②双曲線:− 符号 → 開曲線(2分岐)
③楕円:c² = a² − b² (a > b)
④双曲線:c² = a² + b² (a,bの大小不問)
焦点と離心率
焦点関係式
c² = a² + b²
焦点距離² = 実軸² + 虚軸²
離心率
e = ca > 1
e→1なら漸近線が狭く、eが大きいと漸近線が広い
🎯 離心率の直感
①双曲線の離心率は常に e > 1
②e = √(1 + b²/a²)
③b/aが大きいほど漸近線の傾きが急でeが大きい
④直角双曲線(a=b)なら e = √2、漸近線は y = ±x
総まとめ
核心比較
x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²
'−'符号が双曲線の象徴 | cは常にaより大きい
🎯 試験ポイント
①定義:|PF' − PF| = 2a
②c² = a² + b² (楕円と符号反対!)
③漸近線 y = ±(b/a)x — 頻出
④離心率 e > 1
⑤楕円·放物線·双曲線の離心率比較:楕円(0<e<1)、放物線(e=1)、双曲線(e>1)