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高校3年生 (17-18歳)

数C 双曲線 わかりやすく

Hyperbola

双曲線は、2 つの焦点までの距離の差が一定である点の集まりで、2 つの枝に分かれています。 楕円は距離の和が一定、双曲線は距離の差が一定と、組にして覚えると覚えやすくなります。 双曲線の 2 つの枝は、漸近線という 2 本の直線に限りなく近づきますが、交わることはありません。 a、b と点 P の位置を動かすと PF′ − PF はいつも 2a になり、横 2a・縦 2b の長方形の対角線が漸近線に重なることがわかります。

双曲線の定義

2
1.5
1.5
👀 図から読み取ること
①赤い 2 つの点が焦点 F′(−c, 0)、F(c, 0) で、c² = a² + b² である
②右の枝の上の点 P から 2 つの焦点までの距離は上の帯に出ていて、その差 PF′ − PF は P をどこへ動かしても 2a である
③左の枝の上の点なら PF − PF′ = 2a なので、2 つの枝をまとめると |PF′ − PF| = 2a となる
④金色の点は頂点 (±a, 0)、点線は漸近線 y = ±(b/a)x である

漸近線と長方形

📐 漸近線のかき方
①原点を中心に横 2a、縦 2b の長方形をかく
②2 本の対角線を限りなくのばすと漸近線 y = ±(b/a)x になる
③双曲線は漸近線に限りなく近づくが、交わらない
④頂点 (±a, 0) は長方形の左右の辺の上にある

標準形

双曲線の標準形（主軸が x 軸）
x²a² − y²b² = 1
焦点 (±c, 0)、漸近線 y = ±(b/a)x
双曲線の標準形（主軸が y 軸）
y²a² − x²b² = 1
焦点 (0, ±c)、漸近線 y = ±(a/b)x
🔍 楕円とくらべる
①楕円は 2 つの項を足した形なので閉じた曲線である
②双曲線は引いた形なので、2 つの枝に開いた曲線である
③楕円は c² = a² − b² である
④双曲線は c² = a² + b² で、a と b の大小は関係ない

焦点と離心率

焦点の関係式
c² = a² + b²
（中心から焦点までの距離）² = a² + b²
離心率
e = ca > 1
b/a が小さいと e は 1 に近く枝は細い。b/a が大きいと e は大きくなり枝は広く開く
🎯 離心率の意味
①双曲線の離心率はいつも e > 1 である
②e = √(1 + b²/a²) である
③b/a が大きいほど漸近線は急で、e は大きい
④a = b の直角双曲線では e = √2 で、漸近線は y = ±x である

例題

例題 1
双曲線 x²/9 − y²/16 = 1 の焦点の座標と漸近線の方程式を求めよ。
1
a² = 9, b² = 16 から a = 3, b = 4。焦点は c² = a² + b² で求める。
c² = 9 + 16 = 25, c = 5
2
主軸が x 軸なので焦点は x 軸上にあり、漸近線は y = ±(b/a)x である。
焦点 (±5, 0), 漸近線 y = ±43x
▸ 焦点 (±5, 0)、漸近線 y = ±(4/3)x
双曲線は c² = a² + b² と足し算になる。楕円の c² = a² − b² と符号が逆である。
例題 2
2 つの焦点が (±5, 0) で、2 つの焦点までの距離の差が 6 である双曲線の方程式を求めよ。
1
距離の差 2a = 6 から a = 3、焦点から c = 5 である。
2a = 6 ⇒ a = 3, c = 5
2
b² = c² − a² から b² を求めて標準形に代入する。
b² = 25 − 9 = 16, x²9 − y²16 = 1
▸ x²/9 − y²/16 = 1
定義 |PF′ − PF| = 2a から a を先に決めれば、b² は c² − a² で決まる。

まとめ

かなめの比較
x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²
引き算の符号が双曲線のしるしで、c はいつも a より大きい
2021 評価院 模試 数学（幾何） 類題
双曲線 x²/4 − y²/5 = 1 の 2 つの焦点の間の距離は。
①6
②5
③4
④3
⑤2
▸ ① 6
1
a² = 4, b² = 5 なので c² = a² + b² = 4 + 5 = 9、c = 3 である。
2
2 つの焦点の間の距離は 2c である。
2c = 2 × 3 = 6
🎯 試験のポイント
①定義は |PF′ − PF| = 2a
②c² = a² + b² で楕円と符号が逆
③漸近線 y = ±(b/a)x がよく出る
④離心率は e > 1 である
⑤離心率でくらべると、楕円は 0 < e < 1、放物線は e = 1、双曲線は e > 1
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楕円
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ベクトルの演算

最終更新

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