幾何›二次曲線

楕円

Ellipse

楕円の定義
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👀 楕円とは?
①二つの焦点 F, F'がある
②楕円上の任意の点Pについて PF + PF' = 2a (一定)
③長半径 a が大きいほど横に長い楕円
④短半径 b が a に近いと円に近づく
糸とピンで描く楕円
📌 糸による作図
①二つの焦点にピンを刺す
②長さ2aの糸の両端を各ピンに固定
③鉛筆で糸をピンと張りながら一周すると楕円が描ける
④糸の長さが一定 = PF + PF' = 2a (一定)
標準形
標準形(横長)
x²a² + y²b² = 1 (a > b > 0)
焦点 (±c, 0)、c² = a² − b²
標準形(縦長)
x²b² + y²a² = 1 (a > b > 0)
焦点 (0, ±c)、c² = a² − b²
🔍 公式の導出
①定義: PF + PF' = 2a
②P(x,y), F(c,0), F'(-c,0)に距離の公式を適用
③整理すると x²/a² + y²/b² = 1 (ただし b² = a² − c²)
④分母が大きい方の変数の方向が長軸方向
離心率と形
離心率
e = ca (0 < e < 1)
e→0なら円、e→1なら扁平な楕円
🎯 離心率の直感
①離心率 e = c/a = (焦点距離)/(長半径)
②eが0に近いと焦点が中心に集まる → 円に近い
③eが1に近いと焦点が両端に開く → 扁平になる
④惑星軌道は楕円:地球 e≈0.017(ほぼ円)、彗星 e≈0.99(非常に扁平)
総まとめ
核心関係式
a² = b² + c²
長半径² = 短半径² + 焦点距離²
🎯 試験ポイント
①楕円の定義:二焦点までの距離の和 = 2a
②標準形で大きい分母 → 長軸方向
③c² = a² − b²で焦点座標を求める
④離心率 e = c/a (0 < e < 1)
⑤頂点が(h,k)なら x→(x−h), y→(y−k)平行移動