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高校3年生 (17-18歳)

数C 楕円 わかりやすく

Ellipse

楕円は、2 つの点（焦点）までの距離の和が一定である点の集まりです。 糸の両端を 2 本のピンに結び、鉛筆で糸をぴんと張ったまま 1 周すると楕円が描けます。このとき糸の長さが、その距離の和です。 惑星が太陽のまわりを回る軌道も楕円で、太陽は 2 つの焦点の一方にあります。 横の半軸 a と縦の半軸 b を変えると焦点の位置も動き、点 P から 2 つの焦点までの距離の和はいつも長いほうの軸の長さに等しくなります。

楕円の定義

3
2
👀 図から読み取ること
①赤い 2 つの点が焦点 F, F′ で、緑の線分が点 P から 2 つの焦点までの距離である
②上の帯の PF′ + PF は、a と b をどう変えても長いほうの半軸の 2 倍に等しい
③a > b なら横長の楕円で、焦点は x 軸上の (±c, 0) にあり、c² = a² − b² である
④b > a なら縦長の楕円になり、焦点は y 軸上の (0, ±c) に移る。このとき c² = b² − a² で、距離の和は 2b である
⑤a = b なら 2 つの焦点が中心で重なり、円になる

糸とピンで描く

📌 糸で描く方法
①2 つの焦点にピンを刺す
②長軸の長さと同じ長さの糸の両端を 2 本のピンに結ぶ
③鉛筆で糸をぴんと張ったまま 1 周すると楕円が描ける
④糸の長さは変わらないので、鉛筆の先から 2 本のピンまでの距離の和は一定である

標準形

楕円の標準形（横長）
x²a² + y²b² = 1 (a > b > 0)
焦点 (±c, 0)、c² = a² − b²
楕円の標準形（縦長）
x²b² + y²a² = 1 (a > b > 0)
焦点 (0, ±c)、c² = a² − b²。この式の a は長いほうの半軸なので y² の下にくる
🔍 式の立て方
①定義は PF + PF′ = 2a である
②P(x, y)、F(c, 0)、F′(−c, 0) に距離の公式を使う
③根号を 1 つずつ外して整理すると x²/a² + y²/b² = 1 となり、b² = a² − c² である
④分母が大きいほうの変数の方向が長軸の方向である

離心率と形

離心率
e = ca (0 < e < 1)
e が 0 に近ければ円に近く、1 に近ければ平たい楕円になる
🎯 離心率の意味
①離心率 e = c/a は、中心から焦点までの距離を長いほうの半軸で割った値である
②e が 0 に近いと 2 つの焦点が中心に集まり、円に近い
③e が 1 に近いと焦点が両端に広がり、平たくなる
④地球の公転軌道の離心率は約 0.017 でほとんど円だが、ハレー彗星は約 0.97 でとても平たい

例題

例題 1
楕円 x²/25 + y²/9 = 1 の 2 つの焦点の座標と長軸の長さを求めよ。
1
a と b を読み、c² = a² − b² から c を求める。
a² = 25, b² = 9 ⇒ c² = 25 − 9 = 16, c = 4
2
焦点は (±c, 0) で、長軸の長さは 2a である。
焦点 (±4, 0), 長軸 2a = 10
▸ 焦点 (±4, 0)、長軸の長さ 10
大きい分母 25 が x² の下にあるので、長軸は横向きで、焦点も x 軸上にある。
例題 2
2 つの焦点が (±3, 0) で、2 つの焦点までの距離の和が 10 である楕円の方程式を求めよ。
1
距離の和 2a = 10 から a を求め、焦点から c を読む。
2a = 10 ⇒ a = 5, c = 3
2
b² = a² − c² から b² を求めて標準形に代入する。
b²=25−9=16 ⇒ x²25 + y²16 = 1
▸ x²/25 + y²/16 = 1
定義（距離の和 = 2a）から a を先に求め、焦点の座標から c を読めば b² が決まる。

まとめ

かなめの関係式
a² = b² + c²
（長いほうの半軸）² = （短いほうの半軸）² + （中心から焦点までの距離）²
2022 評価院 模試 数学（幾何） 類題
楕円 x²/16 + y²/7 = 1 の 2 つの焦点の間の距離は。
①6
②5
③4
④3
⑤8
▸ ① 6
1
a² = 16, b² = 7 なので c² = a² − b² = 16 − 7 = 9、c = 3 である。
2
2 つの焦点の間の距離は 2c である。
2c = 6
🎯 試験のポイント
①楕円の定義は、2 つの焦点までの距離の和が 2a で一定であること
②標準形では分母が大きいほうが長軸の方向である
③c² = a² − b² で焦点の座標を求める
④離心率は e = c/a で、0 < e < 1 である
⑤中心が (h, k) なら x のかわりに x − h、y のかわりに y − k を代入する
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最終更新

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