楕円

Ellipse

楕円は、二つの定点(焦点)までの距離の和がいつも一定になる点が集まってできる曲線です。二本のピンに糸をかけ、鉛筆でピンと張ったまま一周させると楕円が描け、このとき糸の長さがそのまま「距離の和」になります。惑星が太陽を回る軌道も、少しつぶれた楕円の形をしています。長半径 a と短半径 b のスライダーを動かして、点Pから二つの焦点までの距離の和がいつも 2a に保たれることを確かめてみましょう。

楕円の定義

長半径 a3

短半径 b2

👀 楕円とは?

①二つの焦点 F, F'がある

②楕円上の任意の点Pについて PF + PF' = 2a (一定)

③長半径 a が大きいほど横に長い楕円

④短半径 b が a に近いと円に近づく

糸とピンで描く楕円

📌 糸による作図

①二つの焦点にピンを刺す

②長さ2aの糸の両端を各ピンに固定

③鉛筆で糸をピンと張りながら一周すると楕円が描ける

④糸の長さが一定 = PF + PF' = 2a (一定)

標準形

標準形(横長)

x²a² + y²b² = 1 (a > b > 0)

焦点 (±c, 0)、c² = a² − b²

標準形(縦長)

x²b² + y²a² = 1 (a > b > 0)

焦点 (0, ±c)、c² = a² − b²

🔍 公式の導出

①定義: PF + PF' = 2a

②P(x,y), F(c,0), F'(-c,0)に距離の公式を適用

③整理すると x²/a² + y²/b² = 1 (ただし b² = a² − c²)

④分母が大きい方の変数の方向が長軸方向

離心率と形

離心率

e = ca (0 < e < 1)

e→0なら円、e→1なら扁平な楕円

🎯 離心率の直感

①離心率 e = c/a = (焦点距離)/(長半径)

②eが0に近いと焦点が中心に集まる → 円に近い

③eが1に近いと焦点が両端に開く → 扁平になる

④惑星軌道は楕円:地球 e≈0.017(ほぼ円)、彗星 e≈0.99(非常に扁平)

実際に解いてみる

例題 1

楕円 x²/25 + y²/9 = 1 の二つの焦点の座標と長軸の長さを求めよ。

a, b を読み取り、c² = a² − b² から c を求める。

a²=25, b²=9 ⇒ c²=25−9=16, c=4

焦点は (±c, 0)、長軸の長さは 2a である。

焦点 (±4, 0), 長軸 2a=10

▸ 焦点 (±4, 0), 長軸の長さ 10

大きい分母(25)が x² の下にあるので長軸は横方向で、焦点も x 軸上にある。

例題 2

二つの焦点が (±3, 0) で、二焦点までの距離の和が 10 である楕円の方程式を求めよ。

距離の和 2a=10 から a を求め、焦点から c を読み取る。

2a=10 ⇒ a=5, c=3

b² = a² − c² で b² を求め、標準形に代入する。

b²=25−9=16 ⇒ x²25 + y²16 = 1

▸ x²/25 + y²/16 = 1

定義(距離の和=2a)から先に a を得て、c は焦点座標から直接読めば b² が決まる。

総まとめ

核心関係式

a² = b² + c²

長半径² = 短半径² + 焦点距離²

2022 評価院模試数学(幾何) 類題

楕円 x²/16 + y²/7 = 1 の二つの焦点間の距離は?

①6

②5

③4

④3

⑤8

▸ ① 6

a²=16, b²=7 なので c² = a² − b² = 16−7 = 9, c=3。

二つの焦点間の距離は 2c である。

2c = 6

🎯 試験ポイント

①楕円の定義:二焦点までの距離の和 = 2a

②標準形で大きい分母 → 長軸方向

③c² = a² − b²で焦点座標を求める

④離心率 e = c/a (0 < e < 1)

⑤頂点が(h,k)なら x→(x−h), y→(y−k)平行移動