色々な関数の微分

Derivatives of Transcendental Functions

指数関数や三角関数、対数関数のように多項式でない関数も、それぞれ驚くほど整った微分公式を持っています。特に eˣ は、何度微分しても自分自身がそのまま出てくる唯一の関数で、どの点でも接線の傾きがその点の高さと正確に等しくなります。 sin を微分すると cos、cos を微分すると −sin になる循環も、実はグラフの増減の変化率をそのまま読んだ結果です。接点 x を動かして eˣ の傾きが関数値を追いかけるか、x を押して sin が増えるとき cos がどう反応するかを確かめてみましょう。

自分自身が導関数の関数

接点 x1

👀 驚くべき性質

金色は eˣ、青破線は接線。接線の傾き（導関数）が常にその点の関数値と等しい！(eˣ)' = eˣ

三角関数の微分

x 位置1

🔄 sin → cos 変換

①sin x が頂点 → cos x は 0

②sin 増加区間 → cos > 0

③sin 減少区間 → cos < 0

④導関数は変化率なので自然

超越関数の微分公式

指数関数の微分

(eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ ln a

eˣ の導関数は自分自身、aˣ には ln a が掛かる

三角関数の微分

(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x

sin → cos、cos → −sin

対数関数の微分

(ln x)' = 1x, (log_a x)' = 1x ln a

ln の導関数は 1/x、log_a は ln a で割る

残りの三角関数の微分

tan, sec の微分

(tan x)' = sec²x, (sec x)' = sec x · tan x

tan は sec²、sec は sec·tan

cot, csc の微分

(cot x)' = −csc²x, (csc x)' = −csc x · cot x

cot, csc は (−) に注意

💡 暗記のコツ

①sin → cos：+

②cos → −sin：−

③tan → sec²

④co- がつく関数（cos, cot, csc）には微分時 (−)

例題で確認

例題 1

関数 y = e^x sin x を微分せよ。

積の微分 (fg)′ = f′g + fg′ を使う。f = e^x, g = sin x。

(e^x sin x)' = (e^x)' sin x + e^x (sin x)'

(e^x)' = e^x, (sin x)' = cos x を代入する。

e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x)

▸ e^x(sin x + cos x)

指数関数は微分しても変わらないので、e^x を含む式は積の微分を正確に使えばよい。

例題 2

関数 y = ln(cos x) を微分せよ。

合成関数の微分：外側 ln u（u = cos x）を微分し、内側の微分を掛ける。

y' = 1cos x · (cos x)'

(cos x)′ = −sin x を代入する。

y' = -sin xcos x = -tan x

▸ -tan x

対数の微分は (ln u)′ = u′/u。ここでは cos x の微分 −sin x が分子になる。

まとめ

核心微分公式

(eˣ)' = eˣ, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (ln x)' = 1/x

最頻出の4大超越関数の微分

共通テスト類題

関数 f(x) = x ln x について、f′(e) の値は？

①1

②2

③e

④e + 1

⑤2e

▸ ② 2

積の微分で f′(x) を求める。

f'(x) = ln x + x · 1x = ln x + 1

x = e を代入する（ln e = 1）。

f'(e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2

🎯 試験ポイント

①(eˣ)' = eˣ：微分しても変わらない唯一の関数

②三角の循環：sin → cos → −sin → −cos

③(ln x)' = 1/x：対数微分の基礎

④(aˣ)' = aˣ ln a で a=e なら ln e =1

⑤co- 関数の微分には必ず (−)