seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

数III いろいろな関数の導関数 わかりやすく

Derivatives of Transcendental Functions

多項式でない指数関数、三角関数、対数関数にも、それぞれ簡潔な微分の公式があります。 とくに eˣ は微分しても自分自身がそのまま出てくる関数なので、どの点でも接線の傾きがその点の高さと等しくなります。 sin x を微分すると cos x、cos x を微分すると −sin x になるのも、グラフの上り下りの速さをそのまま読んだ結果です。 接点 x を動かして eˣ の接線の傾きと高さをくらべ、sin x の接線の傾きが cos x の高さと等しいことを確かめられます。

導関数が自分自身になる関数

1
👀 高さと傾きが等しい
①金色の曲線が y = eˣ、青い線が接点で引いた接線である
②(eˣ)′ = eˣ なので、接線の傾きは接点の高さ eˣ に等しい
③そのため接線は、いつも接点より 1 だけ左で x 軸と交わる。底辺 1、高さ eˣ の直角三角形の斜辺がちょうど接線になる

三角関数の導関数

1
🔄 sin x の傾きと cos x
①sin x が頂上（x = π/2）にあるとき接線は水平で、そのとき cos x = 0 である
②sin x が増加する区間では cos x > 0、減少する区間では cos x < 0 である
③sin x がいちばん急に上る x = 0 で、cos x は最大値 1 をとる。導関数は変化率なので、こうしてぴったり合う

いろいろな関数の微分公式

指数関数の導関数
(eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ ln a
底が e なら導関数は自分自身で、底が a なら ln a が掛かる
三角関数の導関数
(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
sin x を微分すると cos x、cos x を微分すると −sin x になる
対数関数の導関数
(ln x)' = 1x, (loga x)' = 1x ln a
自然対数の導関数は 1/x で、底が a の対数ではこれに 1/ln a が掛かる

ほかの三角関数の導関数

tan x, sec x の導関数
(tan x)′ = sec²x, (sec x)′ = sec x · tan x
tan x = sin x / cos x を商の微分法で微分すると 1/cos²x = sec²x になる
cot x, csc x の導関数
(cot x)′ = −csc²x, (csc x)′ = −csc x · cot x
cot x と csc x の導関数には負の符号がつく
💡 覚えかた
①sin x を微分すると符号なしで cos x
②cos x を微分すると −sin x
③tan x を微分すると sec²x
④名前が co で始まる cos, cot, csc の導関数には負の符号がつく

例題

例題 1
関数 y = ex sin x を微分せよ。
1
積の微分法（fg）′ = f′g + fg′ を使う。f = ex, g = sin x である。
(ex sin x)′ = (ex)′ sin x + ex (sin x)′
2
(ex)′ = ex, (sin x)′ = cos x を代入する。
ex sin x + ex cos x = ex(sin x + cos x)
▸ ex(sin x + cos x)
ex は微分しても変わらないので、ex が掛かった式は積の微分法を正しく使えばよい。
例題 2
関数 y = ln(cos x) を微分せよ。
1
外側の関数 ln u を微分し、内側 u = cos x の導関数を掛ける。
y' = 1cos x · (cos x)'
2
(cos x)′ = −sin x を代入する。
y' = -sin xcos x = -tan x
▸ −tan x
(ln u)′ = u′/u なので、内側の cos x の導関数 −sin x が分子にくる。合成関数の微分は次の単元でくわしく扱う。

まとめ

よく使う微分の公式
(eˣ)′ = eˣ, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (ln x)′ = 1/x
もっともよく使う 4 つの公式である
韓国修能 類題
関数 f(x) = x ln x について、f′(e) の値は。
①1
②2
③e
④e + 1
⑤2e
▸ ② 2
1
積の微分法で f′(x) を求める。
f'(x) = ln x + x · 1x = ln x + 1
2
x = e を代入する。ln e = 1 である。
f′(e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2
🎯 試験のポイント
①(eˣ)′ = eˣ は微分しても形が変わらない公式である
②sin x をくり返し微分すると cos x → −sin x → −cos x → sin x と 4 回でもとにもどる
③(ln x)′ = 1/x は対数微分法のもとになる
④(aˣ)′ = aˣ ln a で a = e とすると ln e = 1 なので (eˣ)′ = eˣ になる
⑤co で始まる三角関数の導関数には負の符号がつく
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最終更新

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