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単語帳
高校3年生 (17-18歳)

色々な微分法

Differentiation Methods

複雑に見える関数でも、微分する道はいくつかの道具に整理できます。 関数の中にさらに関数があれば、外を微分してから内の微分を掛ける連鎖律、y が絡んで解けなければ両辺をそのまま微分する陰関数微分、曲線が時間 t に沿って動けば媒介変数微分を使います。 見た目は違っても、結局は小さな微分を掛けたり割ったりする同じ原理です。 スライダーで x を動かして sin(2x) の接線の傾きがなぜ 2 倍になるのか、媒介変数 t を伸ばしてサイクロイドが描かれる様子を確かめてみましょう。

合成関数の微分(連鎖律)
1.5
🔗 連鎖(Chain)のたとえ
①sin(2x):外関数 sin、内関数 2x
②外を先に微分(cos)→ 内の微分(2)を掛ける
③結果:2cos(2x) — 振幅が 2 倍になる理由
連鎖律
{f(g(x))}' = f'(g(x)) · g'(x)
外関数の微分 × 内関数の微分
陰関数微分
陰関数微分法
x² + y² = r² → 2x + 2y·y' = 0 → y' = −xy
y を x の関数とみなし両辺を微分
🔄 陰関数微分の核心
①y = f(x) と解けなくても微分可能
②y が出るたびに連鎖律を適用(dy/dx = y')
③両辺を微分し y' について整理
媒介変数微分
4
媒介変数微分法
x = f(t), y = g(t) → dydx = dy/dtdx/dt = g'(t)f'(t)
x, y を t で微分し、dy/dt ÷ dx/dt
🎡 サイクロイド
①転がる車輪上の一点が描く曲線
②x = t − sin t, y = 1 − cos t
③赤接線の傾き = (sin t)/(1 − cos t)
対数微分法
対数微分法
y = xx → ln y = x ln x → y'/y = ln x + 1 → y' = xx(ln x + 1)
両辺に ln を取って微分すると複雑な関数も簡潔に
💡 いつ使う?
①底と指数の両方に変数がある(xˣ)
②積商が入り組んでいる
③ln を取れば 積→和、商→差 になり簡単
例題で確認
例題 1
関数 y = (2x+1)5 を微分せよ。
1
外側を u5、内側を u = 2x+1 とみて連鎖律を使う。
y = (2x+1)5, u = 2x+1
2
外側の微分 5u4 に内側の微分 (2x+1)′ = 2 を掛ける。
y' = 5(2x+1)4 · 2 = 10(2x+1)4
y' = 10(2x+1)4
連鎖律は「外の微分 × 内の微分」。内側の微分を掛け忘れない。
例題 2
円 x2 + y2 = 25 上の点 (3, 4) における接線の傾きを求めよ。
1
両辺を x で微分する(陰関数微分)。
2x + 2y·y' = 0 ⇒ y' = -xy
2
点 (3, 4) を代入する。
y'|(3,4) = -34
-34
陰関数微分では y を微分するたびに y′ を掛け、最後に y′ について整理する。
まとめ
3 大微分法の要約
連鎖:f'·g' 陰関数:両辺微分→y' 整理 媒介:g'(t)f'(t)
連鎖律、陰関数、媒介変数 — 3 つの核心ツール
模試類題
媒介変数表示 x = t2 + 1, y = t3 − t の曲線で、t = 2 のときの dydx は?
94
52
114
3
134
114
1
x, y をそれぞれ t で微分し、dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) に代入する。
dydx = 3t2 - 12t
2
t = 2 を代入する。
3(2)2 - 12(2) = 114
🎯 試験ポイント
①連鎖律:外×内 — 最頻出
②陰関数:y が出るたび y' を忘れない
③媒介:dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
④対数微分:xˣ 形 → ln を取って微分
⑤複合問題:連鎖律と陰関数の併用に注意
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