微積分›色々な微分法

色々な微分法

Differentiation Methods

合成関数の微分（連鎖律）

x 位置1.5

🔗 連鎖（Chain）のたとえ

①sin(2x)：外関数 sin、内関数 2x

②外を先に微分（cos）→ 内の微分（2）を掛ける

③結果：2cos(2x) — 振幅が 2 倍になる理由

連鎖律

{f(g(x))}' = f'(g(x)) · g'(x)

外関数の微分 × 内関数の微分

陰関数微分

陰関数微分法

x² + y² = r² → 2x + 2y·y' = 0 → y' = −xy

y を x の関数とみなし両辺を微分

🔄 陰関数微分の核心

①y = f(x) と解けなくても微分可能

②y が出るたびに連鎖律を適用（dy/dx = y'）

③両辺を微分し y' について整理

媒介変数微分

媒介変数 t4

媒介変数微分法

x = f(t), y = g(t) → dydx = dy/dtdx/dt = g'(t)f'(t)

x, y を t で微分し、dy/dt ÷ dx/dt

🎡 サイクロイド

①転がる車輪上の一点が描く曲線

②x = t − sin t, y = 1 − cos t

③赤接線の傾き = (sin t)/(1 − cos t)

対数微分法

y = x^x → ln y = x ln x → y'/y = ln x + 1 → y' = x^x(ln x + 1)

両辺に ln を取って微分すると複雑な関数も簡潔に

💡 いつ使う?

①底と指数の両方に変数がある（xˣ）

②積商が入り組んでいる

③ln を取れば積→和、商→差になり簡単

まとめ

3 大微分法の要約

連鎖：f'·g' 陰関数：両辺微分→y' 整理媒介：g'(t)f'(t)

連鎖律、陰関数、媒介変数 — 3 つの核心ツール

🎯 試験ポイント

①連鎖律：外×内 — 最頻出

②陰関数：y が出るたび y' を忘れない

③媒介：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

④対数微分：xˣ 形 → ln を取って微分

⑤複合問題：連鎖律と陰関数の併用に注意