微積分›級数

級数

Series

無限に足すと?

部分和の項数8個

公比 r0.5

👀 見て理解

金色の棒が部分和 Sₙ。|r|<1 なら赤破線（収束値）に近づく。|r|≥1 なら棒が無限に大きくなり発散。

項の大きさで直感

📦 面積アナロジー

①各正方形が項 rᵏ

②|r|<1 なら急縮小、合計面積は有限

③|r|≥1 なら縮まず、合計は無限

等比級数公式の導出

部分和の公式

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

初項 a、公比 r の等比級数の n 番目部分和

等比級数（無限和）

a1 - r (|r| < 1)

n → ∞ で rⁿ → 0 なので部分和は a/(1-r) に収束

💡 核心直観

①Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)、n→∞ で rⁿ→0

②よって S = a/(1−r)

③|r|<1 のみ成立!

収束判定法

発散判定法

lim_n→∞ a_n ≠ 0 ⇒ Σa_n 発散

一般項が 0 に収束しなければ級数は発散

比較判定法

0 ≤ a_n ≤ b_n : Σb_n 収束 ⇒ Σa_n 収束

大きい級数が収束すれば小さい方も収束

⚖️ 判定法のたとえ

①発散判定：項が 0 に行かないなら積み上がりが減らないので発散

②比較判定：兄が通れば弟も通る

まとめ

等比級数の収束条件

Σ_k=0^∞ ar^k = a1-r (|r| < 1)

初項 a、公比 r、|r|<1 で収束

🎯 試験ポイント

①等比級数：|r|<1 収束、|r|≥1 発散

②無限和：a/(1-r) 公式必須

③発散判定：lim aₙ ≠ 0 なら必ず発散

④Sₙ の極限で収束を定義

⑤比較判定：大きいが収束 → 小さいも収束