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高校3年生 (17-18歳)

数III 級数 わかりやすく

Series

級数は、数列の項を初項から順に足していったものです。 足すほどにたまっていく和が 1 つの値に落ち着くか、限りなく大きくなるかは、項がどれだけ速く小さくなるかで決まります。 等比級数は、公比の絶対値が 1 より小さいときだけ和が 1 つの値に集まり、そうでなければ発散します。 公比 r と足す項の数 n を動かすと、部分和の棒が点線 1/(1 − r) に近づくのか、限りなく大きくなるのかがわかります。

限りなく足すと

8個
0.5
👀 図から読み取ること
①初項 1 の等比級数で、n 番目の棒ははじめの n 項の和 Sₙ である
②|r| < 1 なら棒は赤い点線 1/(1 − r) に近づく。r = 0.5 ならその値は 2 である
③r が負なら棒は点線の上下を交互に行き来しながら近づき、r ≥ 1 なら棒は限りなく大きくなって発散する

項の大きさで見当をつける

📦 正方形で見る収束
①正方形 1 つが級数の項 1 つで、1 辺の長さがその項の大きさ |r|ᵏ に比例する
②|r| < 1 なら正方形は同じ割合で小さくなり続け、全部足しても有限の値にとどまる
③|r| = 1 なら大きさは変わらず、|r| > 1 ならだんだん大きくなるので、和は限りなく大きくなる

等比級数の和の公式

部分和
Sn = a(1 - rn)1 - r (r ≠ 1)
初項 a、公比 r の等比級数の初項から第 n 項までの和
無限等比級数の和
a1 - r (|r| < 1)
n → ∞ のとき rⁿ → 0 なので、部分和は a/(1 − r) に収束する
💡 公式の出どころ
①Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) で、|r| < 1 なら n → ∞ のとき rⁿ → 0 である
②したがって S = a/(1 − r) である
③rⁿ が 0 に近づかない |r| ≥ 1 では、この公式は使えない

収束と発散の判定

一般項の極限による判定
limn→∞ an ≠ 0 ⇒ Σan 発散
一般項が 0 に収束しなければ、級数は必ず発散する。逆は成り立たず、一般項が 0 に近づいても級数が収束するとは限らない
比較判定法
0 ≤ an ≤ bn : Σbn 収束 ⇒ Σan 収束
項ごとに大きいほうの級数が収束すれば、小さいほうの級数も収束する。対偶をとると、小さいほうが発散すれば大きいほうも発散する
⚖️ 判定するときに考えること
①項が 0 に近づかなければ、足すたびに一定量以上がたまるので和は限りなく大きくなる
②1/n のように項が 0 に近づくのに和が発散する級数もあるので、一般項が 0 に近づくことだけでは収束とはいえない
③項が 0 以上の級数は、項ごとに大きい級数の和を超えられないので、大きいほうが収束すれば小さいほうも収束する

例題

例題 1
無限等比級数 Σn=1∞ (2/3)n の和を求めよ。
1
初項 a と公比 r を求める。
a = 23, r = 23 (|r| < 1)
2
|r| < 1 なので、和の公式 S = a/(1 − r) に代入する。
S = 2/31 - 2/3 = 2/31/3 = 2
▸ 2
等比級数は、初項と公比を正しく見つければそのまま和の公式に代入できる。Σ が n = 1 から始まるので、初項は (2/3)¹ である。
例題 2
級数 Σn=1∞ n2n+1 の収束・発散を判定せよ。
1
和を求める前に、一般項の極限を調べる。
limn→∞ n2n+1 = 12
2
一般項の極限が 0 でないので、級数は発散する。
lim an = 12 ≠ 0 ⇒ 発散
▸ 発散
和を計算する前に、一般項が 0 に近づくかを先に確かめる。0 でなければすぐに発散とわかる。

まとめ

等比級数の収束条件
Σk=0∞ ark = a1-r (|r| < 1)
初項 a、公比 r の等比級数は |r| < 1 のとき a/(1 − r) に収束する
韓国修能 類題
初項 a、公比 r の等比級数が Σn=1∞ arn-1 = 9、Σn=1∞ a2 r2(n-1) = 812 を満たすとき、a の値は？
①4
②5
③6
④7
⑤8
▸ ③ 6
1
2 つの級数の和を式に表す。2 つ目の級数は初項 a²、公比 r² の等比級数である。
a1-r = 9, a21-r2 = 812
2
2 つ目の式を 1 つ目の式の 2 乗で割ると (1 − r)/(1 + r) = 1/2 となり、r と a が決まる。
1-r1+r = 12 ⇒ r = 13, a = 6
🎯 試験のポイント
①等比級数（a ≠ 0）は |r| < 1 なら収束し、|r| ≥ 1 なら発散する
②無限等比級数の和は a/(1 − r) である
③lim aₙ ≠ 0 なら級数は発散する
④級数の収束は部分和 Sₙ の極限で定める
⑤一般項が 0 に近づいても収束しない級数がある
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