級数

Series

級数とは、数列の項を初項から一つずつ順に足し合わせていったものです。この積み上がった合計がある値に落ち着くのか、それとも果てしなく大きくなるのかは、項がどれだけ速く小さくなるかで決まります。等比級数なら、公比の絶対値が 1 より小さいときだけ和が一点に集まり、そうでなければ発散します。公比 r と部分和の項数 n を動かして、棒が収束値に近づくのか、際限なく跳ね上がるのかを確かめてみましょう。

無限に足すと?

部分和の項数8個

公比 r0.5

👀 見て理解

金色の棒が部分和 Sₙ。|r|<1 なら赤破線（収束値）に近づく。|r|≥1 なら棒が無限に大きくなり発散。

項の大きさで直感

📦 面積アナロジー

①各正方形が項 rᵏ

②|r|<1 なら急縮小、合計面積は有限

③|r|≥1 なら縮まず、合計は無限

等比級数公式の導出

部分和の公式

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

初項 a、公比 r の等比級数の n 番目部分和

等比級数（無限和）

a1 - r (|r| < 1)

n → ∞ で rⁿ → 0 なので部分和は a/(1-r) に収束

💡 核心直観

①Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)、n→∞ で rⁿ→0

②よって S = a/(1−r)

③|r|<1 のみ成立!

収束判定法

発散判定法

lim_n→∞ a_n ≠ 0 ⇒ Σa_n 発散

一般項が 0 に収束しなければ級数は発散

比較判定法

0 ≤ a_n ≤ b_n : Σb_n 収束 ⇒ Σa_n 収束

大きい級数が収束すれば小さい方も収束

⚖️ 判定法のたとえ

①発散判定：項が 0 に行かないなら積み上がりが減らないので発散

②比較判定：兄が通れば弟も通る

例題で確認

例題 1

無限等比級数 Σ_n=1^∞ (2/3)ⁿ の和を求めよ。

初項 a と公比 r を求める。

a = 23, r = 23 (|r| < 1)

|r| < 1 なので和の公式 S = a/(1−r) を使う。

S = 2/31 - 2/3 = 2/31/3 = 2

▸ 2

等比級数は初項と公比を正しく求め、和の公式に代入するだけ。

例題 2

級数 Σ_n=1^∞ n2n+1 の収束・発散を判定せよ。

和を求める前に一般項の極限を調べる。

lim_n→∞ n2n+1 = 12

一般項が 0 でないので、発散判定法より発散する。

lim a_n = 12 ≠ 0 ⇒ 発散

▸ 発散

和を計算する前に一般項が 0 に向かうか確認。0 でなければ即発散。

まとめ

等比級数の収束条件

Σ_k=0^∞ ar^k = a1-r (|r| < 1)

初項 a、公比 r、|r|<1 で収束

共通テスト類題

初項 a、公比 r の等比級数が Σ_n=1^∞ ar^n-1 = 9、Σ_n=1^∞ a² r^2(n-1) = 812 を満たすとき、a の値は？

①4

②5

③6

④7

⑤8

▸ ③ 6

2 つの和を式に表す（2 つ目の級数は公比が r²）。

a1-r = 9, a²1-r² = 812

a = 9(1−r) を代入して整理すると r と a が定まる。

1-r1+r = 12 ⇒ r = 13, a = 6

🎯 試験ポイント

①等比級数：|r|<1 収束、|r|≥1 発散

②無限和：a/(1-r) 公式必須

③発散判定：lim aₙ ≠ 0 なら必ず発散

④Sₙ の極限で収束を定義

⑤比較判定：大きいが収束 → 小さいも収束