積分が難しく感じるのは被積分関数の形がさまざまだからで、だからこそ形に合った道具を選びます。
置換積分は複雑な x の世界を、より単純な新しい変数 u の世界に乗り換えて計算し、部分積分は難しい積分をより易しい積分に取り替えます。
根号があれば三角置換、分数の形なら部分分数というように、形そのものが戦略を教えてくれます。
上限のスライダーを動かして x の世界が u の世界へどう変わるか、xeˣ の下の面積がどう積み上がるかを確かめてみましょう。
置換積分の直観
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置換積分：x の世界の複雑な関数を u の世界の簡単な関数に
2
🔄 世界を変えよう
①左（x の世界）：2x·cos(x²) — 複雑
②u = x² で置換 → 右（u の世界）：cos(u) — 簡単!
③積分後 x に戻すと sin(x²) + C
置換積分公式
∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))
g(x) = u とおけば g'(x)dx = du
部分積分の直観
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∫xeˣdx の面積：部分積分で計算
1.5
部分積分公式
∫ u dv = uv − ∫ v du
微分しやすいものを u、積分しやすいものを dv
🧩 LIATE
①u の優先順位：Log → 逆三角 → 代数 → 三角 → 指数
②例：∫xeˣdx → u=x（代数）、dv=eˣdx
③結果：xeˣ − ∫eˣdx = xeˣ − eˣ + C
置換積分の主要型
三角置換
√(a²−x²) → x = a sin θ, √(x²−a²) → x = a sec θ
根号内の形に応じて三角置換を選ぶ
部分分数分解
1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b
有理関数を部分分数に分解してから個別に積分
💡 戦略
①合成関数 → 置換
②関数×関数 → 部分積分
③根号 → 三角置換
④有理関数 → 部分分数分解
よく使う積分公式
指数・対数の積分
∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C
eˣ の積分は自分自身、1/x の積分は ln|x|
三角関数の積分
∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C
sin の積分は (−) 注意!
sec²、csc²
∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C
微分の逆
例題で確認
例題 1
不定積分 ∫ 2x cos(x2) dx を求めよ。
1
内側の関数 x2 を u に置換する。du = 2x dx。
u = x2, du = 2x dx
2
u の世界で積分し、x に戻す。
∫ cos u du = sin u + C = sin(x2) + C
▸ sin(x2) + C
置換積分の要は内側の関数を u に置くこと。du = g′(x)dx が式に見えれば置換の合図。
例題 2
不定積分 ∫ x ex dx を求めよ。
1
LIATE により u = x（代数）、dv = ex dx とする。du = dx, v = ex。