微積分›色々な積分法

色々な積分法

Integration Methods

置換積分の直観
2
🔄 世界を変えよう
①左（x の世界）：2x·cos(x²) — 複雑
②u = x² で置換 → 右（u の世界）：cos(u) — 簡単!
③積分後 x に戻すと sin(x²) + C
置換積分公式
∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))
g(x) = u とおけば g'(x)dx = du
部分積分の直観
1.5
部分積分公式
∫ u dv = uv − ∫ v du
微分しやすいものを u、積分しやすいものを dv
🧩 LIATE
①u の優先順位：Log → 逆三角 → 代数 → 三角 → 指数
②例：∫xeˣdx → u=x（代数）、dv=eˣdx
③結果：xeˣ − ∫eˣdx = xeˣ − eˣ + C
置換積分の主要型
三角置換
√(a²−x²) → x = a sin θ, √(x²−a²) → x = a sec θ
根号内の形に応じて三角置換を選ぶ
部分分数分解
1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b
有理関数を部分分数に分解してから個別に積分
💡 戦略
①合成関数 → 置換
②関数×関数 → 部分積分
③根号 → 三角置換
④有理関数 → 部分分数分解
よく使う積分公式
指数・対数の積分
∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C
eˣ の積分は自分自身、1/x の積分は ln|x|
三角関数の積分
∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C
sin の積分は (−) 注意!
sec²、csc²
∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C
微分の逆
まとめ
積分法選択の指針
合成 → 置換、関数積 → 部分、根号 → 三角置換、分数 → 部分分数
被積分関数の形に応じた 4 つの指針
🎯 試験ポイント
①置換：u を何にするかが核心（内関数を u）
②部分積分：LIATE で u 選択
③三角置換：√(a²−x²)→sinθ、√(x²+a²)→tanθ、√(x²−a²)→secθ
④部分分数：分母を因数分解し未定係数
⑤検算必須：結果を微分して元に戻るか