seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

数III いろいろな積分法 わかりやすく

Integration Methods

積分がむずかしいのは、被積分関数の形がそれぞれ違うからです。だから形に合った方法を選びます。 置換積分は内側の関数を u に置きかえて、より簡単な積分に移します。部分積分は積の微分法を逆向きに使い、むずかしい積分をやさしい積分に取りかえます。 根号があれば三角関数による置換、分数の形なら部分分数分解というように、形を見て方法を決めます。 最初の図で上端 t を動かすと、x 側の面積と u 側の面積がいつも同じ値 sin(t²) になり、次の図では xeˣ の下の面積が部分積分で求めた値と一致します。

置換積分

2
🔄 x の積分を u の積分に
①2x cos(x²) では cos の中に x² があり、その導関数 2x が前に掛かっている
②u = x² とおくと du = 2x dx なので、2x cos(x²) dx がまるごと cos u du になる
③区間も変わり、x が 0 から t まで動くと u は 0 から t² まで動く。図の 2 つの面積がいつも sin(t²) で等しいのはこのためである
④したがって不定積分は sin u + C = sin(x²) + C である
置換積分法
∫ f(g(x)) · g′(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))
内側の関数を u = g(x) とおくと g′(x) dx = du となる。定積分なら積分区間も u の値に直す

部分積分

1.5
部分積分法
∫ u dv = uv − ∫ v du
積の微分法（uv）′ = u′v + uv′ の両辺を積分して整理した式である。微分すると簡単になるほうを u、積分しやすいほうを dv に選ぶ
🧩 u の選び方
①ふつうは対数関数、多項式、三角関数、指数関数の順に、前にあるものを u に選ぶ
②∫xeˣ dx では多項式 x を u、eˣ dx を dv とする。すると du = dx, v = eˣ である
③∫xeˣ dx = xeˣ − ∫eˣ dx = xeˣ − eˣ + C で、0 から t まで積分すると (t − 1)eᵗ + 1 となる。図の下の値はこの式で計算したものである

形に応じた方法

三角関数による置換
√(a² − x²) → x = a sin θ, √(x² − a²) → x = a sec θ, √(x² + a²) → x = a tan θ
根号の中の形を見て置換を選ぶ。1 − sin²θ = cos²θ のように根号を外せる恒等式がもとになっている
部分分数分解
1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b
分母が 1 次式の積である分数関数は、部分分数に分けてからそれぞれ対数の形で積分する。両辺に (x − a)(x − b) を掛けて x = a, x = b を代入すると A, B が決まる
💡 方法を選ぶ目安
①内側の関数とその導関数がいっしょに見えたら置換積分
②種類の違う 2 つの関数の積なら部分積分
③根号の中が a² − x² のような形なら三角関数による置換
④分母を因数分解できる分数の形なら部分分数分解
⑤積分した結果を微分して、被積分関数にもどるか確かめる

よく使う積分の公式

指数関数と 1/x の積分
∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C
eˣ の積分は eˣ のまま、1/x の積分は ln|x| である。絶対値は x < 0 の区間もまとめて扱うためにつける
三角関数の積分
∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C
(cos x)′ = −sin x なので、sin x の積分には負の符号がつく
sec² と csc² の積分
∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C
(tan x)′ = sec²x, (cot x)′ = −csc²x を逆に読んだものである

例題

例題 1
不定積分 ∫ 2x cos(x2) dx を求めよ。
1
内側の関数 x2 を u とおくと du = 2x dx である。
u = x2, du = 2x dx
2
u について積分してから x にもどす。
∫ cos u du = sin u + C = sin(x2) + C
▸ sin(x2) + C
内側の関数の導関数が掛かっていれば、置換積分が使える合図である。
例題 2
不定積分 ∫ x ex dx を求めよ。
1
u = x, dv = ex dx とおくと du = dx, v = ex である。
u = x, dv = ex dx ⇒ du = dx, v = ex
2
部分積分の公式 ∫ u dv = uv − ∫ v du に代入する。
x ex − ∫ ex dx = x ex − ex + C
▸ (x − 1)ex + C
多項式を u にすると微分するたびに次数が下がり、積分がやさしくなる。逆に eˣ を u にすると x の次数が上がって複雑になる。

まとめ

積分法の選び方
合成関数 → 置換積分, 2 つの関数の積 → 部分積分, 根号 → 三角置換, 分数 → 部分分数
被積分関数の形を見て、4 つのうちから 1 つを選ぶ
韓国修能 類題
定積分 ∫01 2x(x2+1)3 dx の値は。
①154
②4
③174
④152
⑤8
▸ ① 154
1
u = x2 + 1 と置換し、積分区間も直す。x が 0 から 1 まで動くと u は 1 から 2 まで動く。
u = x2 + 1, x: 0 → 1 ⇒ u: 1 → 2
2
u についての定積分を計算する。
∫12 u3 du = 24 − 144 = 154
🎯 試験のポイント
①置換積分では何を u とおくかがかなめで、たいてい内側の関数を u とおく
②部分積分では対数、多項式、三角、指数の順に u を選ぶ
③定積分で置換したら積分区間も u の値に直す
④部分分数分解は、分母を因数分解してから係数を決める
⑤積分したら、結果を微分して検算する
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速度と加速度
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定積分

最終更新

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