微積分›定積分

定積分

Definite Integrals

定積分と符号付き面積

下限 a0

上限 b3.141592653589793

👀 符号付き面積

①x 軸の上は正、下は負

②a=0, b=π → 面積 2（すべて正）

③a=0, b=2π → 面積 0（正負が打ち消し!）

④これが定積分の核心

微積分学の基本定理

基本定理（FTC）

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)

定積分 = 原始関数の上限値 − 下限値

🌉 微分と積分の橋

①微分と積分は互いの逆演算

②F'(x) = f(x) となる F を見つけ F(b) − F(a)

③数学で最も美しい定理の一つ

FTC 第2形

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

上限が変数の積分を微分すると被積分関数になる

定積分の性質

区間分割

∫_a^b f dx = ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx

区間を分けて積分し合計

偶関数・奇関数

f(−x) = f(x) → ∫_−a^a f dx = 2∫₀^a f dx

偶関数は対称なので半分計算 × 2

奇関数の性質

f(−x) = −f(x) → ∫_−a^a f dx = 0

奇関数の対称区間の積分は常に 0

⚖️ 対称性の力

①偶関数：y軸対称 → 半分計算 × 2

②奇関数：原点対称 → 相殺 → 0

③試験で計算量を半分にする鍵

広義積分

上限 t5

∞ 無限なのに有限?

①1/x² は急減するので無限に積分しても有限

②∫₁^t 1/x² dx = 1 − 1/t → t→∞ で 1

③一方 ∫₁^∞ 1/x dx = ln t → ∞：発散!

広義積分の収束判定

∫₁^∞ 1x^p dx : p > 1 収束, p ≤ 1 発散

p 級数判定：p=2 収束、p=1（調和級数）発散

まとめ

微積分学の基本定理

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)

定積分の計算は原始関数を見つけることに帰着

🎯 試験ポイント

①FTC：F(b) − F(a) を計算

②符号付き面積：x軸の下は負

③偶/奇関数：対称区間で計算量半減

④広義積分：p > 1 収束、p ≤ 1 発散

⑤FTC 第2形：上限 x の積分の微分 = f(x)