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高校3年生 (17-18歳)

数III 定積分 わかりやすく

Definite Integrals

定積分はただの面積ではなく、符号のついた面積です。 x 軸より上は正、下は負として数えるので、両方の部分があると打ち消し合うこともあります。 計算の鍵は微分積分学の基本定理で、原始関数 F を1つ見つけ、上端での値 F(b) から下端での値 F(a) を引けば定積分になります。 1つ目の図で a と b を動かすと sin x の正の部分と負の部分がどう足され、打ち消し合うかがわかり、2つ目の図では上端を大きくしても 1/x² の下の面積が1をこえません。

定積分と符号つきの面積

0
3.1
👀 符号つきの面積
①x 軸より上の面積は +、下の面積は − として数える
②a = 0, b = π なら定積分は2である（すべて x 軸より上）
③a = 0, b = 2π なら定積分は0である（上と下が打ち消し合う）
④図の b は0.1きざみなので、π のかわりに3.1で値が2に近くなる

微積分学の基本定理

微分積分学の基本定理
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)
定積分 = 原始関数の上端での値 − 下端での値
🌉 微分と積分をつなぐ橋
①微分と積分はたがいに逆の演算である
②F'(x) = f(x) となる F を見つければ、定積分は F(b) − F(a) である
③図の sin x では F(x) = −cos x なので、定積分は cos a − cos b である
基本定理のもう1つの形
ddx ∫ax f(t) dt = f(x)
上端が x の定積分を x で微分すると、積分していた関数になる

定積分の性質

区間を分ける
∫ab f dx = ∫ac f dx + ∫cb f dx
区間を分けて積分してから足すと、全体の区間での積分に等しい
y 軸に関して対称な関数
f(−x) = f(x) → ∫−aa f dx = 2∫0a f dx
グラフが y 軸に関して対称なら、半分だけ計算して2倍する
原点に関して対称な関数
f(−x) = −f(x) → ∫−aa f dx = 0
グラフが原点に関して対称なら、対称な区間での積分は0である
⚖️ 対称性で計算が減る
①y 軸に関して対称な関数（f(−x) = f(x)）は0から a までだけ計算して2倍する
②原点に関して対称な関数（f(−x) = −f(x)）は両側が打ち消し合って0になる
③多項式なら偶数次の項と奇数次の項に分けてこの性質を使う

上端が無限大の積分（発展）

5
∞ 限りなく続いても面積は有限
①1/x² は速く小さくなるので、限りなく続いても面積は有限である
②1から t までの面積は 1 − 1/t で、t → ∞ のとき1に近づく
③一方 1/x の1から t までの面積は log t で、t → ∞ のとき限りなく大きくなる
収束と発散の目安
∫1∞ 1xp dx : p > 1 収束, p ≤ 1 発散
p > 1 なら面積は有限、p ≤ 1 なら限りなく大きくなる。高校の範囲をこえる発展的な内容である

例題で身につける

例題 1
定積分 ∫12 (3x2 + 2) dx を求めよ。
1
微分すると 3x² + 2 になる関数として F(x) = x³ + 2x をとる。
F(x) = x3 + 2x
2
基本定理にしたがって F(2) − F(1) を計算する。
(23 + 2·2) − (13 + 2·1) = 12 − 3 = 9
▸ 9
F(2) = 12、F(1) = 3 なので答えは9である。原始関数につく定数 C は引き算で消える。
例題 2
定積分 ∫−22 (x3 + x2) dx を求めよ。
1
x³ は原点に関して対称（積分は0）、x² は y 軸に関して対称（半分を計算して2倍）なので、2つに分ける。
∫−22 x3 dx = 0, ∫−22 x2 dx = 2∫02 x2 dx
2
y 軸に関して対称な x² の部分だけを計算する。
2 · 233 = 163
▸ 163
対称な区間では、原点に関して対称な部分は0になり、y 軸に関して対称な部分は半分だけ計算すればよいので、計算が大きく減る。

まとめ

微積分学の基本定理
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)
定積分の計算は、原始関数を見つけることに帰着する
韓国修能 類題
関数 g(x) = ∫1x (2t + 1) dt について、g'(2) + g(1) の値は？
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ③ 5
1
基本定理より g'(x) = 2x + 1 なので、g'(2) = 5 である。
g'(x) = 2x + 1 ⇒ g'(2) = 5
2
g(1) は1から1までの積分なので0である。
g(1) = 0 ⇒ g'(2) + g(1) = 5
🎯 試験ポイント
①F(b) − F(a) の計算がいちばんの基本
②x 軸より下の部分は負として入るので、面積と区別する
③対称な区間では対称性を使って計算を減らす
④上端が x の定積分を微分すると、積分していた関数になる
⑤上端が x の定積分は、x に下端を代入すると0である
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