定積分

Definite Integrals

定積分はただの面積ではなく、符号のついた面積です。 x軸より上は正、下は負として数えるので、二つの面積は互いに打ち消し合うこともあります。計算の本当の鍵は微積分学の基本定理で、原始関数Fを一つ見つけ、上端の値F(b)から下端の値F(a)を引けば、それがそのまま定積分です。下で両端aとbを動かして、sin xの正の面積と負の面積がどう足し合わされ、打ち消されるかを確かめてみましょう。

定積分と符号付き面積

下限 a0

上限 b3.141592653589793

👀 符号付き面積

①x 軸の上は正、下は負

②a=0, b=π → 面積 2（すべて正）

③a=0, b=2π → 面積 0（正負が打ち消し!）

④これが定積分の核心

微積分学の基本定理

基本定理（FTC）

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)

定積分 = 原始関数の上限値 − 下限値

🌉 微分と積分の橋

①微分と積分は互いの逆演算

②F'(x) = f(x) となる F を見つけ F(b) − F(a)

③数学で最も美しい定理の一つ

FTC 第2形

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

上限が変数の積分を微分すると被積分関数になる

定積分の性質

区間分割

∫_a^b f dx = ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx

区間を分けて積分し合計

偶関数・奇関数

f(−x) = f(x) → ∫_−a^a f dx = 2∫₀^a f dx

偶関数は対称なので半分計算 × 2

奇関数の性質

f(−x) = −f(x) → ∫_−a^a f dx = 0

奇関数の対称区間の積分は常に 0

⚖️ 対称性の力

①偶関数：y軸対称 → 半分計算 × 2

②奇関数：原点対称 → 相殺 → 0

③試験で計算量を半分にする鍵

広義積分

上限 t5

∞ 無限なのに有限?

①1/x² は急減するので無限に積分しても有限

②∫₁^t 1/x² dx = 1 − 1/t → t→∞ で 1

③一方 ∫₁^∞ 1/x dx = ln t → ∞：発散!

広義積分の収束判定

∫₁^∞ 1x^p dx : p > 1 収束, p ≤ 1 発散

p 級数判定：p=2 収束、p=1（調和級数）発散

例題で確認

例題 1

定積分 ∫₁² (3x² + 2) dx を求めよ。

原始関数 F(x) を求める。

F(x) = x³ + 2x

微積分学の基本定理 F(2) − F(1) を計算する。

(2³ + 2·2) − (1³ + 2·1) = 12 − 3 = 9

▸ 9

定積分は原始関数 F を求め、F(上端) − F(下端) で計算する（FTC）。

例題 2

定積分 ∫₋₂² (x³ + x²) dx を求めよ。

x³ は奇関数（積分 0）、x² は偶関数（半分を計算して 2 倍）に分ける。

∫₋₂² x³ dx = 0, ∫₋₂² x² dx = 2∫₀² x² dx

偶関数の部分だけ計算する。

2 · 2³3 = 163

▸ 163

対称区間では奇関数は 0、偶関数は半分を計算して 2 倍 — 計算量を大きく減らせる。

まとめ

微積分学の基本定理

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)

定積分の計算は原始関数を見つけることに帰着

共通テスト類題

関数 g(x) = ∫₁^x (2t + 1) dt について、g'(2) + g(1) の値は？

①3

②4

③5

④6

⑤7

▸ ③ 5

FTC 第 2 形より g'(x) = 2x + 1。

g'(x) = 2x + 1 ⇒ g'(2) = 5

g(1) は区間の幅が 0 なので 0。

g(1) = 0 ⇒ g'(2) + g(1) = 5

🎯 試験ポイント

①FTC：F(b) − F(a) を計算

②符号付き面積：x軸の下は負

③偶/奇関数：対称区間で計算量半減

④広義積分：p > 1 収束、p ≤ 1 発散

⑤FTC 第2形：上限 x の積分の微分 = f(x)