seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

速度と加速度

Velocity & Acceleration

位置を微分すれば速度
2
👀 目で見る
①曲線は時間に対する位置 x(t)
②ある瞬間の接線の傾きがその瞬間の速度 v
③傾きが 0 なら速度 0 — 一瞬止まって向きを変える
位置・速度・加速度の関係
速度 = 位置の導関数
v(t) = dxdt = x′(t)
位置 x(t) を時間で微分すると速度 v(t)
加速度 = 速度の導関数
a(t) = dvdt = x′′(t)
速度をもう一度微分すると加速度 — 位置の二階導関数
速度が 0 なら向きが変わる
運動の向きの変化
v(t)=0 かつ t の前後で v の符号が変わる ⇒ その時刻に向きが変わる
v=0 だけでは不十分 — 符号が実際に変わる必要がある
🔄 v の符号が向き
①v>0 なら正の向き、v<0 なら負の向きに運動
②v=0 の瞬間に運動の向きが変わる(符号が変わるとき)
③速さは速度の絶対値 |v|
直接求めてみる
例題 1
点 P の位置が x(t)=t³−6t²+9t のとき、t=2 での速度と加速度を求めよ。
1
速度と加速度のため一階・二階導関数を求める。
v(t)=3t²−12t+9, a(t)=6t−12
2
t=2 を代入する。
v(2)=12−24+9=−3, a(2)=12−12=0
▸ 速度 −3, 加速度 0
速度が負なら、いま負の向きに動いているということ。
例題 2
同じ点 P が運動の向きを変えるすべての時刻を求めよ。(t>0)
1
v(t)=0 を解く。
v(t)=3(t−1)(t−3)=0 ⇒ t=1, t=3
2
t=1, t=3 の前後で v の符号がどちらも変わる。
▸ t = 1, t = 3
v=0 の時刻ごとに符号変化を確認してこそ本当の向きの変化。
まとめ
中心となる関係
位置 x(t) → 微分 → 速度 v(t) → 微分 → 加速度 a(t)
一度微分すれば速度、二度微分すれば加速度
2020 修能 数学(微積分) 類題
数直線上を動く点 P の位置が x(t)=t³−3t² のとき、P が運動の向きを変える時刻は?(t>0)
①t = 0
②t = 1
③t = 2
④t = 3
⑤向きを変えない
▸ ③ t = 2
1
速度を求める。
v(t)=3t²−6t=3t(t−2)
2
t>0 で v の符号は t=2 を境に負→正に変わる。
t = 2 で向きが変わる
🎯 試験ポイント
①v=x′, a=v′=x″(一度・二度微分)
②v>0 正の向き・v<0 負の向き
③向きの変化は v=0 + 符号変化
④速さは |v|
⑤t=0 は出発時刻なので向きの変化から普通は除く
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