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高校3年生 (17-18歳)

数III 速度と加速度 わかりやすく

Velocity & Acceleration

数直線上を動く点の位置を時刻の関数 x(t) で表すと、位置と時刻のグラフのある瞬間の接線の傾きが、その瞬間の速度になります。 位置を時刻で 1 回微分すると速度、速度をもう 1 回微分すると加速度です。 速度が 0 の瞬間に点は止まりますが、その前後で速度の符号が変わったときにだけ、実際に向きが変わります。 時刻 t を動かすと、接線の傾きといっしょに、右の数直線上の点 P がどちらへ進むかがわかります。

位置を微分すると速度

2
👀 図から読み取ること
①青い曲線は時刻による位置 x(t) で、右の数直線上の点 P が実際に動く点である
②接線の傾きがその瞬間の速度 v である。緑の点は v > 0 で P は上（正の向き）へ、オレンジの点は v < 0 で下へ動く
③t = 1 と t = 3 で v = 0 となり、その前後で v の符号が変わって P の向きが変わる。位置は t = 1 で 4、t = 3 で 0 である

位置・速度・加速度の関係

速度は位置の導関数
v(t) = dxdt = x′(t)
位置 x(t) を時刻で微分すると速度 v(t) になる
加速度は速度の導関数
a(t) = dvdt = x′′(t)
速度をもう 1 回微分すると加速度になる。位置を 2 回微分したものと同じである

速度の符号が変われば向きが変わる

運動の向きが変わる条件
v(t) = 0 かつ前後で v の符号が変わる ⇒ その時刻に向きが変わる
v = 0 だけでは足りない。符号が実際に変わってはじめて向きが変わる
🔄 v の符号が向き
①v > 0 なら正の向き、v < 0 なら負の向きに動く
②v = 0 となる瞬間の前後で符号が変われば、その瞬間に運動の向きが変わる
③速さは速度の絶対値 |v| で、加速度 a = 0 の瞬間に速度が極値をとることがある

例題

例題 1
点 P の位置が x(t) = t³ − 6t² + 9t のとき、t = 2 での速度と加速度を求めよ。
1
位置を 1 回、2 回微分して速度と加速度を求める。
v(t) = 3t² − 12t + 9, a(t) = 6t − 12
2
t = 2 を代入する。
v(2) = 12 − 24 + 9 = −3, a(2) = 12 − 12 = 0
▸ 速度 −3、加速度 0
速度が負なので、P は負の向きに動いている。図で t = 2 にすると同じ値が確かめられる。
例題 2
同じ点 P が運動の向きを変える時刻をすべて求めよ。（t > 0）
1
v(t) = 0 を解く。
v(t) = 3(t − 1)(t − 3) = 0 ⇒ t = 1, t = 3
2
t = 1 と t = 3 の前後で、どちらも v の符号が変わる。
▸ t = 1, t = 3
v = 0 となる時刻ごとに符号が変わるかを確かめて、はじめて向きが変わるといえる。

まとめ

かなめの関係
位置 x(t) → 微分 → 速度 v(t) → 微分 → 加速度 a(t)
1 回微分すると速度、2 回微分すると加速度
2020 韓国修能 数学（微積分） 類題
数直線上を動く点 P の時刻 t における位置が x(t) = t³ − 3t² のとき、P が運動の向きを変える時刻は。（t > 0）
①t = 0
②t = 1
③t = 2
④t = 3
⑤向きを変えない
▸ ③ t = 2
1
速度を求める。
v(t) = 3t² − 6t = 3t(t − 2)
2
t > 0 で、v の符号は t = 2 の前後で負から正に変わる。
t = 2 で向きが変わる
🎯 試験のポイント
①v = x′, a = v′ = x″ である
②v > 0 なら正の向き、v < 0 なら負の向きに動く
③向きが変わるには v = 0 で、かつ符号が変わる必要がある
④速さは |v| である
⑤t = 0 は出発の時刻なので、ふつう向きの変化には数えない
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