速度と加速度

Velocity & Acceleration

位置と時刻のグラフでは、ある瞬間の接線の傾きが、そのままその瞬間の速度になります。だから位置を時間で一度微分すると速度に、速度をもう一度微分すると加速度になります。傾きが 0 になる瞬間には一度止まって向きを変えることもありますが、速度の符号が実際に入れ替わってはじめて本当の向きの変化です。時刻 t のスライダーを動かして、接線の傾きと点の色がどう変わるか、いつ速度が 0 になるかを確かめてみましょう。

位置を微分すれば速度

時刻 t2

👀 目で見る

①曲線は時間に対する位置 x(t)

②ある瞬間の接線の傾きがその瞬間の速度 v

③傾きが 0 なら速度 0 — 一瞬止まって向きを変える

位置・速度・加速度の関係

速度 = 位置の導関数

v(t) = dxdt = x′(t)

位置 x(t) を時間で微分すると速度 v(t)

加速度 = 速度の導関数

a(t) = dvdt = x′′(t)

速度をもう一度微分すると加速度 — 位置の二階導関数

速度が 0 なら向きが変わる

運動の向きの変化

v(t)=0 かつ t の前後で v の符号が変わる ⇒ その時刻に向きが変わる

v=0 だけでは不十分 — 符号が実際に変わる必要がある

🔄 v の符号が向き

①v>0 なら正の向き、v<0 なら負の向きに運動

②v=0 の瞬間に運動の向きが変わる(符号が変わるとき)

③速さは速度の絶対値 |v|

直接求めてみる

例題 1

点 P の位置が x(t)=t³−6t²+9t のとき、t=2 での速度と加速度を求めよ。

速度と加速度のため一階・二階導関数を求める。

v(t)=3t²−12t+9, a(t)=6t−12

t=2 を代入する。

v(2)=12−24+9=−3, a(2)=12−12=0

▸ 速度 −3, 加速度 0

速度が負なら、いま負の向きに動いているということ。

例題 2

同じ点 P が運動の向きを変えるすべての時刻を求めよ。(t>0)

v(t)=0 を解く。

v(t)=3(t−1)(t−3)=0 ⇒ t=1, t=3

t=1, t=3 の前後で v の符号がどちらも変わる。

▸ t = 1, t = 3

v=0 の時刻ごとに符号変化を確認してこそ本当の向きの変化。

まとめ

中心となる関係

位置 x(t) → 微分 → 速度 v(t) → 微分 → 加速度 a(t)

一度微分すれば速度、二度微分すれば加速度

2020 修能数学(微積分) 類題

数直線上を動く点 P の位置が x(t)=t³−3t² のとき、P が運動の向きを変える時刻は?(t>0)

①t = 0

②t = 1

③t = 2

④t = 3

⑤向きを変えない

▸ ③ t = 2

速度を求める。

v(t)=3t²−6t=3t(t−2)

t>0 で v の符号は t=2 を境に負→正に変わる。

t = 2 で向きが変わる

🎯 試験ポイント

①v=x′, a=v′=x″(一度・二度微分)

②v>0 正の向き・v<0 負の向き

③向きの変化は v=0 + 符号変化

④速さは |v|

⑤t=0 は出発時刻なので向きの変化から普通は除く