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高校3年生 (17-18歳)

数III 等比級数の活用 わかりやすく

Applications of Geometric Series

無限等比級数の和の公式が実際にどこで使われるかを見ていく単元です。 0.777… のように同じ数字が限りなく続く循環小数も、中点を結んでどんどん小さくなる図形の面積を全部足した値も、初項と公比さえ見つければ a/(1 − r) ひとつで計算できます。 正方形の半分を塗り、残りの半分をまた塗ることを限りなく繰り返すと、塗った面積の和は 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 になります。 塗る部分を増やすほど残りの面積 1/2ᵏ が小さくなり、Sₖ が 1 に近づく様子が図で見られます。

循環小数を分数に

🔁 循環小数は無限等比級数である
①0.777… は 7/10 + 7/100 + 7/1000 + … と分けられる
②初項 7/10、公比 1/10 の無限等比級数である
③|1/10| < 1 なので収束し、その和が循環小数の分数表示になる
④0.999… も同じ方法で計算すると (9/10)/(1 − 1/10) = 1 になる
例題 1
循環小数 0.777… を既約分数で表せ。
1
初項 7/10、公比 1/10 の無限等比級数とみる。
2
和の公式 S = a/(1 − r) に代入する。
S = 7/101 - 1/10 = 7/109/10
▸ 7/9
循環節が 1 桁なら公比が 1/10 なので分母に 9 が、2 桁なら公比が 1/100 なので 99 が出てくる。

循環小数を分数に直す公式

循環小数の分数表示
0.aaa… = a/9 , 0.ababab… = (ab)/99
(ab) は 2 桁の数を表す。循環節の桁数だけ分母に 9 を並べる。たとえば 0.363636… = 36/99 = 4/11 である

図形で見る無限の和

3
半分ずつの級数
12 + 14 + 18 + ⋯ = 1/21 - 1/2 = 1
初項 1/2、公比 1/2 なので、和はちょうど 1 である
🟧 半分の半分の半分
①面積 1 の正方形の半分を塗ると 1/2 である
②残りの半分を塗ると 1/4 が加わり、残りの面積は 1/4 になる
③k 個塗ったときの残りの面積はいつも 1/2ᵏ なので、塗った面積の和は Sₖ = 1 − 1/2ᵏ である
④k を限りなく大きくすると残りの面積は 0 に近づくので、和は正方形全体、つまり 1 に収束する

相似な図形の面積の和

例題 2
1 辺の長さが 2 の正方形の各辺の中点を結んで新しい正方形をつくり、これを限りなく繰り返す。すべての正方形の面積の和を求めよ。
1
中点を結んだ正方形の 1 辺はもとの正方形の 1/√2 倍なので、面積は 1/2 倍である。公比は 1/2 である。
2
最初の正方形の面積は 4 なので S = 4/(1 − 1/2) である。
S = 41/2 = 8
▸ 8
相似比が k なら面積比は k² である。面積の和を問われたら、公比は面積比でとる。

まとめ

活用のかなめ
|r|<1 ⇒ S = a1 - r
循環小数、図形の面積、長さの和のどれも、初項 a と公比 r を見つけて代入する
2021 教育庁 学力評価 数学 類題
1 辺の長さが 6 の正方形 S₁ の各辺の中点を結んで正方形 S₂ をつくり、これを限りなく繰り返す。すべての正方形の面積の和は。
①48
②60
③72
④96
⑤発散
▸ ③ 72
1
中点を結んだ正方形の面積は、前の正方形の 1/2 である（公比 1/2）。
2
S₁ の面積は 36 なので S = 36/(1 − 1/2) である。
S = 361/2 = 72
🎯 試験ポイント
①循環小数は公比 1/10 や 1/100 の無限等比級数である
②循環節の桁数が分母の 9 の個数になる
③図形の問題では、相似比 k から面積比 k²、長さの比 k で公比をとる
④初項は最初の図形の値を正確にとる
⑤|r| < 1 を確かめてから S = a/(1 − r) に代入する
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