seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

等比級数の活用

Applications of Geometric Series

循環小数の正体
🔁 循環小数は無限等比級数
①0.777… は 7/10 + 7/100 + 7/1000 + …
②初項 7/10、公比 1/10 の無限等比級数
③|1/10|<1 なので収束し、その和が分数表現になる
例題 1
循環小数 0.777… を既約分数で表せ。
1
初項 7/10、公比 1/10 の無限等比級数と見る。
2
和の公式 S = a/(1−r) を適用する。
S = 7/101 - 1/10 = 7/109/10
▸ 7/9
循環節が一桁なら分母は 9、二桁なら 99 — 等比級数から自然に出る。
循環小数 → 分数の公式
循環小数の分数化
0.aaa… = a/9 , 0.ababab… = (ab)/99
循環節の桁数だけ 9 を分母に置く(一桁 9、二桁 99)
図形で見る無限和
3
半分の級数
12 + 14 + 18 + ⋯ = 1/21 - 1/2 = 1
初項 1/2、公比 1/2 — 和はちょうど 1
🟧 半分の半分の半分…
①正方形の半分を塗ると 1/2
②残りの半分を塗ると 1/4 追加
③無限に繰り返すと塗った面積の和は正方形全体、すなわち 1 に収束する
相似な図形の面積の和
例題 2
一辺の長さが 2 の正方形の各辺の中点を結んで新しい正方形を作り、これを限りなく繰り返すとき、すべての正方形の面積の和を求めよ。
1
中点を結んだ正方形の面積は直前の正方形の 1/2(公比 1/2)。
2
最初の正方形の面積は 4 なので S = 4/(1−1/2)。
S = 41/2 = 8
▸ 8
相似比が k なら面積比は k² — 公比を面積比で取るのが核心。
まとめ
活用の核心
|r|<1 ⇒ S = a1 - r
循環小数・図形の面積・長さの和はすべて初項 a と公比 r を見つけて代入
2021 教育庁 学力評価 数学 類題
一辺の長さが 6 の正方形 S₁ の各辺の中点を結んで正方形 S₂ を作り、これを限りなく繰り返す。すべての正方形の面積の和は?
①48
②60
③72
④96
⑤発散
▸ ③ 72
1
中点を結んだ正方形の面積は直前の正方形の 1/2(公比 1/2)。
2
S₁ の面積 = 36 なので S = 36/(1−1/2)。
S = 361/2 = 72
🎯 試験ポイント
①循環小数は公比 1/10・1/100 の無限等比級数
②循環節の桁数 = 分母の 9 の個数
③図形問題は相似比 → 面積比(k²)・長さ比(k)で公比を取る
④初項を図形の「最初の値」として正確に
⑤常に |r|<1 を確認して S=a/(1−r)
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