高校3年生 (17-18歳)

無限等比級数

Infinite Geometric Series

無限に足すのに終わりがある?

足した項の数 n4

👀 目で見る

①項を足し続けると棒が伸びる

②しかし公比が 1 より小さいと足す量がどんどん小さくなる

③だから無限に足してもある値(赤い線)を超えず、そこへ収束する

まず部分和を立てる

等比数列の部分和

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

初項 a、公比 r の等比数列の最初の n 項の和

🧱 はじめに n 項の和

①無限級数の和は部分和 Sₙ の極限で定義する

②等比数列の部分和の公式をまず書く

③その後 n→∞ にする — この順序が核心

極限を取れば公式が出る

無限等比級数の和

S = a1 - r (|r| < 1)

初項 a、公比 r で、|r|<1 のときのみ収束し和は a/(1−r)

収束条件

収束 ⇔ a = 0 または |r| < 1

初項が 0 か、公比の絶対値が 1 より小さいこと

💨 rⁿ が消える

①|r|<1 なら n→∞ のとき rⁿ→0

②部分和の式から rⁿ の項が消える

③残るのが無限等比級数の和の公式

直接求めてみる

例題 1

初項 3、公比 1/3 の無限等比級数の和を求めよ。

1

公比の絶対値を確認 — |1/3|<1 なので収束する。

2

和の公式 S = a/(1−r) に a=3, r=1/3 を代入する。

S = 31 - 1/3 = 32/3

▸ S = 9/2

まず |r|<1 の収束を確認してから公式を使う習慣がミスを防ぐ。

まとめ

中心となる結果

|r|<1 ⇒ ∑_n=1^∞ a r^n-1 = a1 - r

初項 a、公比 r の無限等比級数は |r|<1 のとき a/(1−r) へ収束

2023 評価院模試数学(微積分) 類題

∑_n=1^∞ 2ⁿ3ⁿ の値は?

①1

②3/2

③2

④5/2

⑤発散

▸ ③ 2

1

一般項を (2/3)ⁿ と見れば、初項 2/3、公比 2/3 の等比級数。

2

|2/3|<1 なので S = (2/3)/(1−2/3)。

S = 2/31/3 = 2

🎯 試験ポイント

①必ず |r|<1 の収束条件を先に確認

②和は S=a/(1−r)、初項と公比を正確に取る

③∑arⁿ と ∑arⁿ⁻¹ の初項の違いに注意

④循環小数や図形の和も結局この公式

⑤収束しなければ和は存在しない

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