seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

数III 無限等比級数 わかりやすく

Infinite Geometric Series

限りなく多くの数を足せば結果も限りなく大きくなりそうですが、必ずしもそうではありません。 公比の絶対値が 1 より小さければ、新しく足す項が前の項より一定の割合で小さくなるので、いくら足してもある値を超えず、その値に近づいていきます。 その値が、初項 a を 1 − r で割った a/(1 − r) です。 図は a = 1, r = 0.6 の場合で、足した項の数 n を増やすと、部分和の棒は伸びながらも赤い線 2.5 を決して超えないことがわかります。

限りなく足しても終わりがある

4
👀 図から読み取ること
①棒 Sₙ は初項から第 n 項までの和で、上端の明るい部分が新しく足した項 0.6ⁿ⁻¹ である
②新しい部分はすぐ前の部分の 0.6 倍なので、棒の伸びはだんだん小さくなる
③上の帯の残りの差 2.5 − Sₙ は 2.5 × 0.6ⁿ に等しく、n が大きくなるほど 0 に近づく。だから棒は赤い線 2.5 を超えず、その値に収束する

まず部分和をつくる

等比数列の和
Sn = a(1 - rn)1 - r (r ≠ 1)
初項 a、公比 r の等比数列の初項から第 n 項までの和
🧱 はじめに n 項の和
①無限級数の和は部分和 Sₙ の極限として定める
②まず等比数列の和の公式で Sₙ を書く
③それから n → ∞ の極限を求める。この順序を守れば、収束しない級数に和を与えてしまう誤りを防げる

極限をとると和の公式が出る

無限等比級数の和
S = a1 - r (|r| < 1)
初項 a ≠ 0、公比 r のとき、収束するのは |r| < 1 の場合だけで、和は a/(1 − r) である
収束条件
収束 ⇔ a = 0 または |r| < 1
初項が 0 ならすべての項が 0 なので、公比によらず和は 0 である。a ≠ 0 なら |r| < 1 でなければならない
💨 rⁿ が消える
①|r| < 1 なら n → ∞ のとき rⁿ → 0 である
②部分和 a(1 − rⁿ)/(1 − r) で rⁿ が 0 に近づくので、a/(1 − r) だけが残る
③|r| ≥ 1 なら rⁿ は 0 に近づかないので、a ≠ 0 である限り級数は発散する

実際に求める

例題 1
初項が 3、公比が 1/3 の無限等比級数の和を求めよ。
1
公比の絶対値を確かめる。|1/3| < 1 なので収束する。
2
和の公式 S = a/(1 − r) に a = 3, r = 1/3 を代入する。
S = 31 - 1/3 = 32/3
▸ S = 9/2
先に |r| < 1 かどうかを確かめてから公式を使う習慣が、ミスを防ぐ。

まとめ

要点
|r|<1 ⇒ ∑n=1∞ a rn-1 = a1 - r
初項 a、公比 r の無限等比級数は |r| < 1 のとき a/(1 − r) に収束する
2023 評価院 模試 数学（微積分） 類題
∑n=1∞ 2n3n の値は?
①1
②3/2
③2
④5/2
⑤発散
▸ ③ 2
1
一般項を (2/3)ⁿ とみると、初項 2/3、公比 2/3 の等比級数である。
2
|2/3| < 1 なので S = (2/3)/(1 − 2/3) である。
S = 2/31/3 = 2
🎯 試験ポイント
①和の公式を使う前に |r| < 1 を確かめる
②和の公式は S = a/(1 − r) で、初項と公比を正確にとる
③∑arⁿ の初項は ar、∑arⁿ⁻¹ の初項は a である
④循環小数や図形の面積の和も、結局この公式で解く
⑤収束しなければ和は存在しない
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最終更新

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