無限等比級数

Infinite Geometric Series

無限に多くの項を足せば当然無限大になりそうですが、いつもそうとは限りません。公比が 1 より小さいと、加わる一片が前より次々に小さくなるので、いくら足してもある天井を超えられず、その値へ収束します。その天井こそが、初項を 1 引く公比で割った a/(1−r) です。足す項数 n を増やして、部分和の棒が伸びながらも赤い極限線を最後まで超えない様子を確かめてみましょう。

無限に足すのに終わりがある?

足した項の数 n4

👀 目で見る

①項を足し続けると棒が伸びる

②しかし公比が 1 より小さいと足す量がどんどん小さくなる

③だから無限に足してもある値(赤い線)を超えず、そこへ収束する

まず部分和を立てる

等比数列の部分和

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

初項 a、公比 r の等比数列の最初の n 項の和

🧱 はじめに n 項の和

①無限級数の和は部分和 Sₙ の極限で定義する

②等比数列の部分和の公式をまず書く

③その後 n→∞ にする — この順序が核心

極限を取れば公式が出る

無限等比級数の和

S = a1 - r (|r| < 1)

初項 a、公比 r で、|r|<1 のときのみ収束し和は a/(1−r)

収束条件

収束 ⇔ a = 0 または |r| < 1

初項が 0 か、公比の絶対値が 1 より小さいこと

💨 rⁿ が消える

①|r|<1 なら n→∞ のとき rⁿ→0

②部分和の式から rⁿ の項が消える

③残るのが無限等比級数の和の公式

直接求めてみる

例題 1

初項 3、公比 1/3 の無限等比級数の和を求めよ。

公比の絶対値を確認 — |1/3|<1 なので収束する。

和の公式 S = a/(1−r) に a=3, r=1/3 を代入する。

S = 31 - 1/3 = 32/3

▸ S = 9/2

まず |r|<1 の収束を確認してから公式を使う習慣がミスを防ぐ。

まとめ

中心となる結果

|r|<1 ⇒ ∑_n=1^∞ a r^n-1 = a1 - r

初項 a、公比 r の無限等比級数は |r|<1 のとき a/(1−r) へ収束

2023 評価院模試数学(微積分) 類題

∑_n=1^∞ 2ⁿ3ⁿ の値は?

①1

②3/2

③2

④5/2

⑤発散

▸ ③ 2

一般項を (2/3)ⁿ と見れば、初項 2/3、公比 2/3 の等比級数。

|2/3|<1 なので S = (2/3)/(1−2/3)。

S = 2/31/3 = 2

🎯 試験ポイント

①必ず |r|<1 の収束条件を先に確認

②和は S=a/(1−r)、初項と公比を正確に取る

③∑arⁿ と ∑arⁿ⁻¹ の初項の違いに注意

④循環小数や図形の和も結局この公式

⑤収束しなければ和は存在しない