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Física Movimiento de proyectil

Projectile Motion

Un objeto lanzado en diagonal se mueve a la vez con velocidad constante en horizontal y, por la gravedad, con aceleración constante en vertical. Los dos movimientos no se afectan entre sí y solo comparten el tiempo; con la misma rapidez, el alcance es máximo con un ángulo de 45°, y dos objetos lanzados con θ y con 90° − θ caen en el mismo sitio. En el punto más alto la velocidad vertical se anula, pero la horizontal sigue igual, así que la rapidez no llega a cero. En la figura, al cambiar el ángulo de lanzamiento y la rapidez inicial cambian la trayectoria, el alcance, la altura máxima y la rapidez en el punto más alto.

El movimiento horizontal y el vertical van por separado

🎯 Independencia del movimiento
①Un objeto lanzado en diagonal se mueve a la vez en horizontal y en vertical
②En horizontal no actúa ninguna fuerza, así que la velocidad es constante (movimiento uniforme)
③En vertical solo actúa la gravedad, así que la aceleración es constante e igual a g (movimiento uniformemente acelerado)
④Los dos movimientos no se afectan entre sí y solo comparten el tiempo t

La trayectoria según el ángulo y la rapidez inicial

45°
20 m/s
📐 ¿Por qué 45° llega más lejos?
①El alcance R = v₀² sin2θ/g es máximo en θ = 45°, donde sin2θ toma su valor mayor, 1
②θ y 90° − θ dan el mismo sin2θ y, por tanto, el mismo alcance (por ejemplo, 30° y 60°)
③Con más ángulo el objeto sube más y vuela más tiempo, pero la velocidad horizontal disminuye, así que pasados los 45° el alcance se acorta

El movimiento horizontal y el vertical en ecuaciones

Horizontal: movimiento uniforme
x = v0 cosθ · t, vx = v0 cosθ
En horizontal no actúa ninguna fuerza, así que la velocidad horizontal no cambia
Vertical: movimiento uniformemente acelerado
y = v0 sinθ · t − 12gt2, vy = v0 sinθ − gt
Al subir la gravedad reduce vy, y al bajar la aumenta

Alcance, altura máxima y tiempo de vuelo

Alcance horizontal
R = v02 sin2θg
Con la misma rapidez inicial, es máximo en θ = 45°
Altura máxima
H = (v0 sinθ)22g
La altura a la que vy = 0, el punto más alto
Tiempo de vuelo
T = 2 v0 sinθg
El tiempo de subida es igual al de bajada, así que el tiempo de vuelo es el doble del de subida

Comparación de ángulos

Comparación de ángulos con v₀ = 20 m/s (g = 10 m/s²)
ÁnguloAlcanceAltura máx.Tiempo de vuelo
30°34,6 m5 m2 s
45°40 m10 m2,8 s
60°34,6 m15 m3,5 s

Del concepto al problema

Ejemplo 1: el alcance
Se lanza un objeto con una rapidez inicial de 20 m/s y un ángulo de 45°. Halla su alcance horizontal. (g = 10 m/s²)
1
Se sustituyen los valores en la fórmula del alcance.
R = v02 sin2θg
2
Se usa sin(2 × 45°) = sin 90° = 1.
R = 202 × 110 = 40
▸ 40 m
Con 45°, sin2θ toma su valor mayor, 1, así que ese ángulo da el mayor alcance con la misma rapidez.
Ejemplo 2: la rapidez en el punto más alto
Se lanza un objeto con una rapidez inicial de 20 m/s y un ángulo de 60°. Halla su rapidez y la dirección de su movimiento en el punto más alto.
1
En el punto más alto la velocidad vertical vy = 0, así que solo queda la componente horizontal de la rapidez.
2
Se halla la velocidad horizontal.
vx = v0 cosθ = 20 × cos60° = 20 × 0,5 = 10
▸ Rapidez de 10 m/s, en dirección horizontal
Incluso en el punto más alto la velocidad horizontal es la misma que al lanzar, así que la rapidez no es cero. La flecha verde de la figura es justamente esa velocidad.

Puntos clave

Problema tipo CSAT (Física II), adaptado
Con la misma rapidez inicial, el objeto A se lanza a 30° y el B a 60°. Elige la afirmación correcta (sin resistencia del aire).
①A tiene mayor alcance que B.
②A y B tienen el mismo alcance.
③A sube más alto que B.
④A tiene mayor tiempo de vuelo que B.
⑤En el vértice la rapidez de ambos es cero.
▸ ② A y B tienen el mismo alcance.
1
El alcance es R ∝ sin2θ, y sin(2 × 30°) = sin 60° y sin(2 × 60°) = sin 120° = sin 60° son iguales, así que la ② es correcta.
2
La altura máxima es H ∝ sin²θ, así que B, lanzado a 60°, sube más y está más tiempo en el aire. Por eso la ③ y la ④ son falsas.
3
En el punto más alto sigue la velocidad horizontal v₀cosθ, así que la rapidez no es cero y la ⑤ también es falsa.
🎯 Puntos clave
①El movimiento horizontal es uniforme (v₀cosθ) y el vertical es uniformemente acelerado por la gravedad; los dos son independientes
②El alcance R = v₀² sin2θ/g es máximo en θ = 45° y es igual para θ y 90° − θ
③La altura máxima es H = (v₀sinθ)²/2g, y en el punto más alto v_y = 0
④Tiempo de vuelo T = 2v₀sinθ/g
⑤La rapidez en el punto más alto no es cero, sino la componente horizontal v₀cosθ
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