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2°-3° Bachillerato (16-18 años)

Movimiento de proyectil

Projectile Motion

Lo horizontal y lo vertical no interfieren
🎯 Independencia del movimiento
①Un proyectil se mueve a la vez en horizontal y en vertical
②Horizontal: sin fuerza, la velocidad es constante (uniforme)
③Vertical: solo actúa la gravedad, es uniformemente acelerado
④Los dos movimientos son independientes y solo comparten el tiempo t
Cambia el ángulo y la rapidez de lanzamiento
45°
20 m/s
📐 ¿Por qué 45° llega más lejos?
①Alcance R = v₀²sin2θ/g — máximo cuando sin2θ es máximo (=1), en θ=45°
②θ y 90°−θ dan el mismo alcance (p. ej. 30° y 60°)
③A mayor ángulo, vuela más alto y más tiempo
El movimiento horizontal y vertical en ecuaciones
Horizontal — uniforme
x = v0 cosθ · t, vx = v0 cosθ
la velocidad horizontal no cambia (sin fuerza)
Vertical — uniformemente acelerado
y = v0 sinθ · t − 12gt2, vy = v0 sinθ − gt
la gravedad g cambia la velocidad vertical a cada instante
Alcance, altura máxima y tiempo de vuelo
Alcance horizontal
R = v02 sin2θg
máximo en θ=45°
Altura máxima
H = (v0 sinθ)22g
en el vértice vy = 0
Tiempo de vuelo
T = 2 v0 sinθg
el tiempo de subida es igual al de bajada

Comparación de ángulos

📊Mismo v₀, según el ángulo (g=10)
ÁnguloAlcanceAltura máx.
30°medio (sin60°)baja
45°máximo (sin90°=1)media
60°medio (sin120°=sin60°)alta
Del concepto al problema
Ejemplo 1 — alcance
Se lanza un objeto a 20 m/s y 45°. Halla su alcance horizontal. (g=10 m/s²)
1
Sustituye en la fórmula del alcance.
R = v02 sin2θg
2
Usa sin(2·45°)=sin90°=1.
R = 202 × 110 = 40
▸ 40 m
En 45°, sin2θ alcanza su máximo de 1, dando el alcance más largo.
Ejemplo 2 — rapidez en el vértice
Un objeto lanzado a 20 m/s y 60° llega a su punto más alto. Halla su rapidez y dirección de movimiento allí.
1
En el vértice la velocidad vertical vy = 0, así que solo queda la componente horizontal.
2
Halla la velocidad horizontal.
vx = v0 cosθ = 20 × cos60° = 20 × 0.5 = 10
▸ rapidez 10 m/s, dirección horizontal
La velocidad horizontal permanece incluso en el vértice, así que la rapidez no es cero — un error frecuente.
Puntos clave
Estilo CSAT (adaptado, Física II)
Con la misma rapidez inicial, el objeto A se lanza a 30° y el B a 60°. Elige la afirmación correcta (sin resistencia del aire).
①A tiene mayor alcance que B.
②A y B tienen el mismo alcance.
③A sube más alto que B.
④A tiene mayor tiempo de vuelo que B.
⑤En el vértice la rapidez de ambos es cero.
▸ ② A y B tienen el mismo alcance.
1
El alcance R ∝ sin2θ; sin(2·30°)=sin60° y sin(2·60°)=sin120°=sin60°, así que son iguales → ②.
2
La altura máxima H ∝ sin²θ, así que B (60°) sube más y permanece más tiempo → ③, ④ falsas.
3
En el vértice queda la velocidad horizontal v₀cosθ, así que la rapidez no es cero → ⑤ falsa.
🎯 Puntos clave
①Horizontal = uniforme (v₀cosθ), vertical = acelerado (gravedad) — independencia del movimiento
②Alcance R=v₀²sin2θ/g, máximo en 45°, θ y 90°−θ iguales
③Altura máx. H=(v₀sinθ)²/2g, v_y=0 en el vértice
④Tiempo de vuelo T=2v₀sinθ/g
⑤La rapidez en el vértice no es cero, sino la parte horizontal v₀cosθ
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