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Física Gravitación y leyes de Kepler

Gravitation and Kepler's Laws

La fuerza que hace caer una manzana y la que mantiene a la Luna girando alrededor de la Tierra son la misma gravitación universal. Todos los cuerpos con masa se atraen entre sí, y esa fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Las leyes de Kepler son tres: un planeta recorre una elipse con el Sol en uno de sus focos, barre áreas iguales en tiempos iguales, y el cuadrado de su periodo es proporcional al cubo de su semieje mayor. Todas estas leyes se pueden deducir de la gravitación universal, y la velocidad orbital de un satélite se obtiene del mismo modo. En la figura, al cambiar la excentricidad la órbita se aplana, y las posiciones del planeta marcadas a intervalos de tiempo iguales se separan más en el lado cercano al Sol.

Intuición de la gravitación universal

🌍 La manzana de Newton y la Luna
①La fuerza que hace caer una manzana y la que retiene a la Luna son del mismo tipo
②Todos los cuerpos con masa se atraen entre sí, y esa fuerza se llama gravitación universal
③Igual que al duplicar la distancia la fuerza pasa a ser 1/4, la gravitación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

Las leyes de Kepler en una figura

e = 0,40
💡 Las tres leyes de Kepler
①Primera ley (ley de las órbitas): un planeta recorre una elipse con el Sol en uno de sus focos
②Segunda ley (ley de las áreas): en tiempos iguales barre áreas iguales, así que va rápido en el perihelio, cerca del Sol, y despacio en el afelio, lejos de él; por eso los puntos verdes están más separados en el lado del perihelio
③Tercera ley (ley de los periodos): el cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del semieje mayor (T² ∝ a³)

La ley de la gravitación universal

Ley de gravitación universal
F = GMmr²
G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²; M: masa del cuerpo central; m: masa del cuerpo que orbita; r: distancia entre sus centros
Aceleración de la gravedad y gravitación
g = GMR²
La aceleración de la gravedad en la superficie es GM/R², unos 9,8 m/s²

Tercera ley de Kepler

Tercera ley de Kepler (ley de los periodos)
T² = 4π²GMa³
El cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor; al igualar fuerza centrípeta y gravitación en una órbita circular se obtiene esta ecuación
🛰️ Aplicación a los satélites
①En un satélite en órbita circular, la gravitación hace de fuerza centrípeta, así que mv²/r = GMm/r²
②La velocidad orbital v = √(GM/r) depende solo de la distancia r al centro de la Tierra, no de la masa del satélite
③Un satélite geoestacionario tiene un periodo de 24 horas, así que gira a unos 36.000 km de altura sobre la superficie

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Si la distancia entre dos objetos se triplica, ¿por qué factor cambia la fuerza gravitatoria?
1
La gravitación es F = GMm/r², así que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
F = GMmr2
2
Si r se hace 3 veces mayor, r² se hace 9 veces mayor, así que F pasa a ser 1/9.
r→3r ⇒ F ∝ 1(3r)2 = 19F
▸ 1/9
Si la distancia se multiplica por n, la fuerza queda multiplicada por 1/n². Un error frecuente es responder 1/3 cuando la distancia se triplica.
Ejemplo 2
El planeta A tiene un periodo orbital 8 veces el del planeta B. ¿Por qué factor es mayor el semieje mayor de A? (tercera ley de Kepler)
1
De la tercera ley de Kepler T² ∝ a³ se obtiene a ∝ T2/3.
T2 ∝ a3 ⇒ a ∝ T2/3
2
T es 8 veces mayor, así que a es 82/3 = 4 veces mayor.
aA/aB = 82/3 = (23)2/3 = 4
▸ 4×
Al elevar la razón de periodos a 2/3 se obtiene la razón de semiejes mayores. Como 8 = 2³, 82/3 = 2² = 4 sale exacto.

Resumen

Gravitación
F = GMmr²
Tercera ley de Kepler
T² ∝ a³
Problema tipo CSAT, adaptado
Si la aceleración de la gravedad en la superficie es g, ¿cuánto vale a una altura de 2 radios terrestres (a 3R del centro)?
①g2
②g3
③g4
④g9
⑤g6
▸ ④ g9
1
La aceleración de la gravedad es g = GM/r², inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra.
g = GMr2
2
En la superficie r = R y en el punto pedido r = 3R, así que g pasa a ser 1/9.
g(3R) = GM(3R)2 = g9
🎯 Puntos clave
①La gravitación universal F = GMm/r² es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
②Como la velocidad orbital es v = √(GM/r), un satélite que gira más alto va más despacio
③Primera ley de Kepler: un planeta recorre una elipse con el Sol en un foco
④Segunda ley de Kepler: la velocidad areolar es constante, así que el planeta va rápido en el perihelio y despacio en el afelio
⑤Tercera ley de Kepler: T² = (4π²/GM)a³, así que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor
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