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2°-3° Bachillerato (16-18 años)

Gravitación y leyes de Kepler

Gravitation and Kepler's Laws

La fuerza que hace caer una manzana y la que mantiene a la Luna en órbita es la misma gravitación universal: toda masa atrae a toda masa, al cuadrado de la distancia. Las leyes de Kepler dicen órbitas elípticas, áreas iguales en tiempos iguales y T² proporcional a a³. De la fórmula de gravitación también se deduce la velocidad orbital de un satélite. Aquí deslizas la excentricidad para ver la elipse y la ley de áreas.

Intuición de la gravitación universal
🌍 La manzana y la Luna de Newton
①La fuerza que hace caer la manzana es la misma que mantiene a la Luna orbitando
②Toda masa atrae a toda masa — gravitación universal
③A más distancia, menos fuerza (inversa al cuadrado)
Visualización de las leyes de Kepler
40%
💡 Tres leyes de Kepler
①1.ª (órbita elíptica): los planetas orbitan en elipses con el Sol en un foco
②2.ª (áreas): áreas iguales en tiempos iguales (más rápido cerca del perihelio)
③3.ª (armónica): T² ∝ a³ (periodo² proporcional al semieje mayor³)
Fórmulas de la gravitación
Ley de gravitación universal
F = GMmr²
G = 6,67×10⁻¹¹ N·m²/kg²; M: masa del cuerpo central; m: masa orbital
Aceleración de la gravedad y gravitación
g = GMR²
Gravedad en la superficie = GM/R² ≈ 9,8 m/s²
Tercera ley de Kepler
Tercera ley (armónica)
T² = 4π²GMa³
T² ∝ a³ — se deduce de la gravitación
🛰️ Aplicación a satélites artificiales
①Fuerza centrípeta = gravitación: mv²/r = GMm/r²
②Velocidad orbital: v = √(GM/r) — depende solo de la altitud
③Satélite geoestacionario: T = 24 h → r ≈ 36 000 km
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Si la distancia entre dos objetos se triplica, ¿por qué factor cambia la fuerza gravitatoria?
1
La gravedad es F = GMm/r², inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
F = GMmr2
2
Si r se triplica, r² es 9× → F es 1/9.
r→3r ⇒ F ∝ 1(3r)2 = 19F
▸ 1/9
La gravedad sigue la ley del cuadrado inverso. Si la distancia es n×, la fuerza es 1/n².
Ejemplo 2
El planeta A tiene un periodo orbital 8 veces el del planeta B. ¿Por qué factor es mayor el semieje mayor de A? (tercera ley de Kepler)
1
De la tercera ley de Kepler T² ∝ a³, así que a ∝ T(2/3).
T2 ∝ a3 ⇒ a ∝ T2/3
2
Como T es 8×, a es 8(2/3) = 4×.
aA/aB = 82/3 = (23)2/3 = 4
▸ 4×
De T² ∝ a³, la razón de ejes es la potencia 2/3 de la razón de periodos. Como 8 = 2³, 8(2/3) = 4.
Resumen
Gravitación
F = GMmr²
Tercera ley
T² ∝ a³
tipo examen (variante)
Si la gravedad en la superficie es g, ¿cuál es la aceleración a una altura de dos radios terrestres (distancia 3R desde el centro)?
①g2
②g3
③g4
④g9
⑤g6
▸ ④ g9
1
La aceleración gravitatoria es g = GM/r², inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro.
g = GMr2
2
La superficie es r = R; el punto es r = 3R, así que g es 1/9.
g(3R) = GM(3R)2 = g9
🎯 Puntos clave
①Gravitación: F = GMm/r² (inversa al cuadrado)
②Velocidad orbital: v = √(GM/r) — más alto, más lento
③Kepler 1: órbita elíptica (Sol en un foco)
④Kepler 2: áreas iguales (más rápido en perihelio)
⑤Kepler 3: T² = (4π²/GM)a³
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Movimiento circular uniforme
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Movimiento de proyectil
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