En el movimiento circular uniforme hay aceleración aunque la rapidez sea constante, porque la dirección de la velocidad cambia en cada instante.
Esa aceleración apunta siempre hacia el centro de la circunferencia; se llama aceleración centrípeta y su valor es a = v²/r = rω².
Si desaparece la fuerza centrípeta que tira del objeto hacia el centro, el objeto sale en línea recta por la tangente de ese instante.
En la figura, al cambiar el radio y la velocidad angular, la flecha de la velocidad, tangente a la trayectoria, y la de la aceleración, hacia el centro, cambian de longitud según v = rω y a = rω².
El movimiento circular es un movimiento acelerado
Aunque el velocímetro marque lo mismo, la velocidad de un objeto que gira en círculo no es la misma. La velocidad es un vector con módulo y dirección, y en una circunferencia la tangente apunta hacia un sitio distinto en cada punto, así que la velocidad cambia a cada instante. Si no se tiene en cuenta ese cambio, no se puede explicar que un satélite gire alrededor de la Tierra ni que una pelota atada a una cuerda describa un círculo. Con el radio r y la velocidad angular ω, la rapidez lineal es v = rω, la aceleración centrípeta es a = v²/r = rω² y el periodo de una vuelta es T = 2π/ω. La fuerza neta hacia el centro que produce esta aceleración es la fuerza centrípeta F = ma, y estas relaciones son el punto de partida para tratar un cambio de dirección como movimiento acelerado.
🎡 ¿Por qué hay aceleración si la rapidez es constante?
①En el movimiento circular uniforme la rapidez no cambia, pero la dirección de la velocidad cambia continuamente a lo largo de la circunferencia
②La velocidad incluye la dirección, así que si cambia la dirección cambia la velocidad, y hay aceleración
③Esta aceleración apunta siempre hacia el centro, por eso se llama aceleración centrípeta
④Si se corta la fuerza centrípeta, el objeto sigue en línea recta en la dirección de su velocidad en ese instante, es decir, por la tangente
⑤La gravedad que retiene un satélite, la tensión de la cuerda que hace girar una pelota y el rozamiento sobre las ruedas de un coche que toma una curva actúan como fuerzas centrípetas
Dibujar la velocidad y la aceleración centrípeta
4 m
1,5 rad/s
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Un instante de un objeto (punto verde) que gira en sentido antihorario por una trayectoria circular. La flecha naranja es la velocidad v, tangente a la trayectoria, y la roja es la aceleración centrípeta a_c hacia el centro O; la longitud de cada una es proporcional a su valor
El círculo del centro es la trayectoria, y el punto verde abajo a la derecha es la posición, en un instante, de un objeto que gira en sentido antihorario. La flecha naranja que sale del punto hacia arriba y a la derecha es la velocidad v, tangente a la trayectoria; la flecha roja que va hacia el centro O es la aceleración centrípeta a_c, y la línea de trazos es el radio r. Cada flecha se dibuja con una escala fija para su magnitud, así que se puede comparar cuánto crece cada una al mover los deslizadores. Al mover el deslizador del radio entre 1 m y 6 m, crecen juntos el círculo y las dos flechas; al mover el de la velocidad angular entre 0,5 rad/s y 3 rad/s, el círculo no cambia de tamaño y solo se alargan las flechas, pero la roja crece mucho más deprisa que la naranja. Es porque la velocidad angular entra al cuadrado en a = rω².
💡 Cómo leer la figura
①La velocidad v siempre es tangente a la trayectoria, así que es perpendicular al radio
②La aceleración centrípeta a_c siempre va a lo largo del radio, hacia el centro O
③Al aumentar el radio o la velocidad angular crecen a la vez v = rω y a = rω², y al duplicar la velocidad angular v se duplica y a_c se multiplica por cuatro
Ecuaciones del movimiento circular uniforme
Es muy común pensar que si la rapidez es constante no hay aceleración. Pero la aceleración mide cómo cambia la velocidad con el tiempo, y la velocidad incluye la dirección, así que mientras el objeto gira la aceleración no es cero. Otro error frecuente es dibujar la fuerza centrípeta en la dirección del movimiento; la fuerza centrípeta apunta siempre al centro, perpendicular al movimiento, por eso no cambia la rapidez y solo cambia la dirección. Cuando se rompe la cuerda, el objeto no sale despedido hacia fuera, sino que sigue en línea recta por la tangente de ese instante. Por eso, antes de sustituir valores en una fórmula, conviene distinguir primero qué flecha es tangente y cuál apunta al centro.
Aceleración centrípeta
a = v²r = rω²
El valor de la aceleración hacia el centro: la rapidez al cuadrado dividida entre el radio, que es igual al radio por la velocidad angular al cuadrado
Velocidad lineal
v = rω
Velocidad lineal (m/s) = radio (m) × velocidad angular (rad/s)
Periodo y frecuencia
T = 2πω = 2πrv, f = 1T = ω2π
El periodo T es el tiempo de una vuelta y la frecuencia f es el número de vueltas en 1 s, con f = 1/T
Fuerza centrípeta
F = ma = mv²r = mrω²
La fuerza neta hacia el centro necesaria para mantener el movimiento circular
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Un objeto en movimiento circular uniforme sobre una circunferencia de 2 m de radio se mueve a 4 m/s. ¿Cuál es su aceleración centrípeta?
1
Se usa la fórmula de la aceleración centrípeta a = v²/r.
a = v2r
2
Se sustituyen v = 4 m/s y r = 2 m.
a = 422 = 8 m/s2
▸ 8 m/s² (hacia el centro)
Con el mismo radio de 2 m, si la rapidez se duplica a 8 m/s, la aceleración centrípeta se multiplica por cuatro y vale 32 m/s².
Ejemplo 2
Un objeto de 0,5 kg atado a una cuerda de 1 m gira en un círculo horizontal con velocidad angular 2 rad/s. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?
1
La tensión de la cuerda es la fuerza centrípeta, así que se usa F = mrω².
F = mrω2
2
Se sustituyen m = 0,5 kg, r = 1 m y ω = 2 rad/s.
F = 0,5 × 1 × 22 = 2 N
▸ 2 N
Si se da la velocidad angular se usa F = mrω², y si se da la velocidad lineal, F = mv²/r. Aquí la velocidad lineal es v = 1 × 2 = 2 m/s, así que 0,5 × 2²/1 = 2 N da la misma respuesta.
Resumen
Aceleración centrípeta
a = v²r
Velocidad lineal
v = rω
Problema tipo CSAT, adaptado
En movimiento circular uniforme, si se mantiene el radio y se duplica la velocidad angular, ¿por qué factor cambia la aceleración centrípeta?
①2×
②4×
③12×
④No cambia
⑤8×
▸ ② 4×
1
La aceleración centrípeta es a = rω², así que con el mismo radio es proporcional al cuadrado de la velocidad angular.
a = rω2
2
Si ω se hace 2 veces mayor, ω² se hace 4 veces mayor, y a también se multiplica por 4.
ω→2ω ⇒ a ∝ (2ω)2 = 4rω2
🎯 Puntos de examen
①El movimiento circular uniforme es acelerado: la rapidez es constante, pero cambia la dirección de la velocidad
②La aceleración centrípeta a = v²/r = rω² apunta siempre al centro
③Si desaparece la fuerza centrípeta F = mv²/r, el objeto sigue en línea recta por la tangente
④v = rω, T = 2π/ω, f = 1/T = ω/(2π)
⑤Ejemplos de fuerza centrípeta: gravedad (satélite), tensión (pelota atada a una cuerda), rozamiento (coche en una curva)