Onda de materia y principio de incertidumbre

Matter Wave & Uncertainty

Si la luz es onda y partícula, De Broglie se preguntó si las partículas también son ondas. A menor masa, mayor longitud de onda y más visible la naturaleza ondulatoria: el electrón difracta, pero la de una pelota es menor que un átomo. El principio de incertidumbre limita conocer a la vez posición y momento. Aquí deslizas el momento y la energía cinética para ver la longitud de onda de materia y la relación de incertidumbre.

¿La materia también es onda?

💡 La hipótesis de De Broglie

①Si la luz es onda y partícula, ¿lo serán también las partículas?

②En 1924 De Broglie: «toda materia tiene naturaleza ondulatoria»

③Esencia: a menor masa, mayor longitud de onda y mayor visibilidad de la onda

④Una pelota: λ ≈ 10⁻³⁴ m — más pequeña que un átomo, no observable

⑤Un electrón: λ ≈ 10⁻¹⁰ m — comparable al átomo y se ve la difracción

Longitud de onda de De Broglie y momento

momento p3

Longitud de onda de De Broglie

λ = hp = hmv

longitud de onda = constante de Planck / momento

📐 Lectura de la fórmula

①h = 6,63 × 10⁻³⁴ J·s (¡muy pequeña!)

②p = mv: a más masa, menor λ

③Más momento (rapidez), menor λ

④Solo en partículas ligeras como el electrón la onda es relevante

Relación entre energía y longitud de onda

energía cinética E5

Energía-longitud de onda

λ = h√(2mE)

Se obtiene de KE = p²/2m

Energía del fotón

E = hf = hcλ

Energía del fotón = h × frecuencia

🔬 Experimento de difracción de electrones

①Davisson y Germer (1927): electrones sobre níquel mostraron patrón de difracción

②λ del electrón comparable a la red cristalina

③Primera prueba experimental de la onda de materia

④Es el principio del microscopio electrónico — sustituye luz por electrones

Principio de incertidumbre de Heisenberg

Principio de incertidumbre

Δx · Δp ≥ h4π

Incertidumbre de posición × incertidumbre de momento ≥ h/4π

🔍 ¿Por qué no podemos medir ambos a la vez?

①Para ver al electrón hay que iluminarlo (fotón)

②Luz de λ corta → posición precisa pero altera mucho el momento

③Luz de λ larga → poco impacto en momento pero posición imprecisa

④Es una ley fundamental, no una limitación técnica

⑤En lo macroscópico, h es tan pequeña que la incertidumbre es despreciable

Comparación

ChartMecánica clásica vs cuántica

aspecto	mecánica clásica	mecánica cuántica
posición de la partícula	determinable con precisión	incertidumbre Δx
momento	determinable con precisión	incertidumbre Δp
medida simultánea	ambos con precisión	limitada por Δx·Δp ≥ h/4π
ámbito	cuerpos macroscópicos	electrones, protones, etc.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Si el momento de una partícula se duplica, ¿por qué factor cambia su longitud de onda de de Broglie?

La longitud de onda de de Broglie es λ = h/p, inversamente proporcional al momento.

λ = hp

Si p se duplica, λ se reduce a la mitad.

p→2p ⇒ λ ∝ 12p = 12λ

▸ 1/2

La longitud de onda de de Broglie es inversamente proporcional al momento. Partículas más rápidas o pesadas tienen longitudes de onda menores, y su naturaleza ondulatoria es difícil de observar.

Ejemplo 2

Si la energía cinética de una partícula se cuadruplica, ¿por qué factor cambia su longitud de onda de de Broglie?

De λ = h/√(2mE), la longitud de onda es inversamente proporcional a √E.

λ = h√(2mE)

Si E se cuadruplica, √E se duplica → λ se reduce a la mitad.

E→4E ⇒ λ ∝ 1√(4E) = 12λ

▸ 1/2

De λ = h/√(2mE), n× energía da 1/√n × longitud de onda. 4× energía → √4 = 2, así que la mitad.

Resumen

Longitud de onda de De Broglie

λ = hmv

Longitud de onda de toda materia = h / momento

Principio de incertidumbre

Δx · Δp ≥ h4π

No se pueden medir posición y momento simultáneamente con precisión

tipo examen (variante)

Si se mide la posición de un electrón con más precisión, reduciendo la incertidumbre de posición Δx a la mitad, ¿cómo cambia el valor mínimo de la incertidumbre de momento Δp?

①12×

②No cambia

③2×

④4×

⑤14×

▸ ③ 2×

El principio de incertidumbre Δx·Δp ≥ h/4π fija una cota inferior al producto.

Δx · Δp ≥ h4π

Si Δx se reduce a la mitad, Δp debe duplicarse para mantener la cota.

Δx→12Δx ⇒ Δp ≥ 2 × h4πΔx

🎯 Puntos clave

①De Broglie: λ = h/p = h/mv (más masa → menor λ)