seegongsik

Física Onda de materia y principio de incertidumbre

Matter Wave & Uncertainty

Si la luz es una onda que también se comporta como partícula, quizá una partícula como el electrón también pueda comportarse como onda; esa fue la idea de De Broglie. La longitud de onda de una onda de materia es λ = h/p, inversamente proporcional al momento, así que un electrón, muy ligero, tiene una longitud de onda del tamaño de un átomo y muestra difracción, mientras que la de una pelota de béisbol ronda los 10⁻³⁴ m y nunca se nota. El límite de no poder conocer a la vez la posición y el momento de una partícula con toda la precisión que se quiera es el principio de incertidumbre de Heisenberg. En las figuras, al cambiar el momento y la energía cinética se ve cuánto se acorta la longitud de onda de la onda de materia.

¿La materia también es una onda?

💡 La idea de De Broglie
①Si la luz es una onda que también tiene propiedades de partícula, ¿no tendrán las partículas también propiedades de onda?
②En 1924 De Broglie propuso que toda la materia tiene naturaleza ondulatoria
③La longitud de onda es inversamente proporcional al momento, así que cuanto menor es la masa, más larga es la longitud de onda y más fácil es ver la naturaleza ondulatoria
④La longitud de onda de una pelota de béisbol es de unos 10⁻³⁴ m, mucho menor que un átomo, así que no hay forma de observarla
⑤La longitud de onda de un electrón es de unos 10⁻¹⁰ m, parecida a la distancia entre átomos, así que en los cristales se observa difracción

Longitud de onda de De Broglie y momento

3
Longitud de onda de De Broglie
λ = hp = hmv
Longitud de onda = constante de Planck ÷ momento
📐 Cómo leer la fórmula
①La constante de Planck h = 6,63 × 10⁻³⁴ J·s es un valor muy pequeño
②Como p = mv, cuanto mayor es la masa, mucho más corta es la longitud de onda
③Incluso para la misma partícula, al ir más rápido aumenta el momento y se acorta la longitud de onda; en la figura, duplicar p reduce λ a la mitad
④Por eso la naturaleza ondulatoria solo se nota claramente en partículas ligeras como los electrones

Energía cinética y longitud de onda

5
Energía cinética y longitud de onda
λ = h√(2mE)
Se obtiene al poner p = √(2mE), que sale de la energía cinética E = p²/2m, en λ = h/p
Energía del fotón
E = hf = hcλ
La relación del fotón que se usa en el efecto fotoeléctrico; la longitud de onda de una onda de materia se halla con λ = h/p
🔬 El experimento de difracción de electrones
①En 1927 Davisson y Germer lanzaron electrones contra un cristal de níquel y obtuvieron un patrón de difracción
②Se confirmó que la longitud de onda del electrón es parecida a la distancia entre los átomos del cristal
③Fue la primera confirmación experimental de las ondas de materia
④El microscopio electrónico usa, en lugar de luz, las ondas de materia de los electrones, de longitud de onda mucho más corta, para distinguir detalles mucho más pequeños

Principio de incertidumbre de Heisenberg

Principio de incertidumbre
Δx · Δp ≥ h4π
Incertidumbre de posición × incertidumbre de momento ≥ h/4π
🔍 ¿Por qué no se pueden medir las dos cosas con exactitud?
①Para ver dónde está un electrón hay que iluminarlo con luz (fotones)
②Con luz de longitud de onda corta la posición queda precisa, pero el gran momento del fotón sacude mucho el momento del electrón
③Con luz de longitud de onda larga el momento se perturba menos, pero la posición queda borrosa
④No es un límite de la técnica de medida, sino un límite propio de la naturaleza
⑤Como h es tan pequeña, esta incertidumbre no se nota en los objetos cotidianos
⑥Cuanto más se estrecha Δx, mayor es el valor mínimo de Δp, y al revés también

Comparación

Mecánica clásica y mecánica cuántica
AspectoMecánica clásicaMecánica cuántica
Posición de la partículaSe puede fijar con exactitudTiene una incertidumbre Δx
MomentoSe puede fijar con exactitudTiene una incertidumbre Δp
Medida simultáneaAmbos valores se miden con precisiónLimitada por Δx·Δp ≥ h/4π
ÁmbitoObjetos cotidianosPartículas microscópicas como electrones y protones

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Si el momento de una partícula se hace 2 veces mayor, ¿por qué factor cambia su longitud de onda de De Broglie?
1
La longitud de onda de De Broglie λ = h/p es inversamente proporcional al momento.
λ = hp
2
Si p se hace 2 veces mayor, λ pasa a ser 1/2.
p→2p ⇒ λ ∝ 12p = 12λ
▸ 1/2
Cuanto más rápida o pesada es una partícula, mayor es su momento y más corta su longitud de onda, así que su naturaleza ondulatoria cuesta más de ver.
Ejemplo 2
Si la energía cinética de una partícula se hace 4 veces mayor, ¿por qué factor cambia su longitud de onda de De Broglie?
1
En λ = h/√(2mE), la longitud de onda es inversamente proporcional a √E.
λ = h√(2mE)
2
Si E se hace 4 veces mayor, √E se hace 2 veces mayor, así que λ pasa a ser 1/2.
E→4E ⇒ λ ∝ 1√(4E) = 12λ
▸ 1/2
Si la energía se multiplica por n, la longitud de onda queda multiplicada por 1/√n. Hay que fijarse en que, al multiplicar la energía por 4, la longitud de onda se reduce a la mitad y no a 1/4.

Resumen

Longitud de onda de De Broglie
λ = hmv
La longitud de onda de cualquier materia = constante de Planck ÷ momento
Principio de incertidumbre
Δx · Δp ≥ h4π
No se pueden medir a la vez la posición y el momento con toda la precisión que se quiera
Problema tipo CSAT, adaptado
Si se mide la posición de un electrón con más precisión y la incertidumbre de posición Δx se reduce a 1/2, ¿cómo cambia el valor mínimo de la incertidumbre de momento Δp?
①12×
②No cambia
③2×
④4×
⑤14×
▸ ③ 2×
1
En el principio de incertidumbre Δx·Δp ≥ h/4π, el producto de las dos incertidumbres tiene un límite inferior.
Δx · Δp ≥ h4π
2
Si Δx pasa a ser 1/2, el valor mínimo de Δp tiene que hacerse 2 veces mayor para respetar ese límite.
Δx→12Δx ⇒ Δp ≥ 2 × h4πΔx
🎯 Puntos clave
①La longitud de onda de De Broglie λ = h/p = h/mv es más corta cuanto mayores son la masa o la rapidez
②El experimento de difracción de electrones es la prueba experimental de las ondas de materia
③El principio de incertidumbre Δx·Δp ≥ h/4π es un límite fundamental de la naturaleza
④En los objetos cotidianos h es tan pequeña que se pueden ignorar la naturaleza ondulatoria y la incertidumbre
⑤El microscopio electrónico tiene gran resolución porque la longitud de onda de los electrones es más corta que la de la luz
← Anterior
Interferencia y difracción de la luz
Siguiente →
Relatividad especial

Última actualización

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik