Si se envuelve una carga con una superficie cerrada, como un globo, el número de líneas de campo que la atraviesan hacia fuera no cambia aunque se cambie el tamaño o la forma del globo.
Escrita como ecuación, la ley de Gauss dice que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada dividida entre ε₀.
Cuando la carga está repartida con buena simetría, como en una esfera cargada de manera uniforme, esta ley da el campo eléctrico con muy poco trabajo.
En la figura, al cambiar la carga Q, el número de líneas de campo y el flujo cambian en proporción a Q, y las dos superficies gaussianas de distinto tamaño siempre las atraviesan el mismo número de líneas.
Intuición de la ley de Gauss
🎈 Pensemos en un globo
①Si se envuelve una carga con un globo, el número de líneas de campo que salen a través del globo es fijo
②Aunque se infle el globo o se aplaste, cada línea que sale de la carga lo atraviesa una vez, así que el flujo total no cambia
③Por eso el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada depende solo de la carga interior, y su valor es Q/ε₀
Superficies gaussianas y flujo eléctrico
4 μC
seegongsik.com
Dos superficies gaussianas, S₁ (trazos naranjas) y S₂ (trazos morados), alrededor de una carga en el centro. Las líneas verdes son líneas de campo, en número proporcional a la carga, y las puntas de flecha indican su sentido
💡 Cómo leer la figura
①Cuanto mayor es la carga, más líneas de campo hay y mayor es el flujo a través de cada superficie
②Con carga positiva las líneas salen hacia fuera; con carga negativa entran desde fuera
③S₁ y S₂ tienen distinto tamaño, pero cada línea atraviesa cada superficie una vez, así que el flujo a través de las dos es el mismo
④Las líneas de una carga situada fuera de la superficie entran y vuelven a salir, así que no suman nada al flujo total
La ecuación de la ley de Gauss
Ley de Gauss
∮ E · dA = Qε₀
Flujo eléctrico a través de una superficie cerrada = carga encerrada ÷ permitividad del vacío
Aplicación a la simetría esférica
E × 4πr² = Qε₀ → E = Q4πε₀r² = kQr²
En una esfera alrededor de una carga puntual, E vale lo mismo en toda la superficie, así que la ley de Coulomb sale directamente de la ley de Gauss
🔑 Dónde resulta útil la ley de Gauss
①Con una distribución de carga muy simétrica, la ley de Gauss da el campo eléctrico con facilidad
②Simetría esférica: una carga puntual o una esfera cargada de manera uniforme
③Simetría cilíndrica: una línea de carga infinitamente larga, con campo E = λ/(2πε₀r)
④Dentro de un conductor E = 0, y la carga sobrante se reúne en la superficie
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Una superficie gaussiana cerrada encierra cargas de +2Q y −Q. ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través de ella?
1
El flujo total depende solo de la carga neta dentro de la superficie.
Φ = Qencε₀
2
Se sustituye la carga neta encerrada Qenc = 2Q − Q = Q.
Φ = 2Q − Qε₀ = Qε₀
▸ Q/ε₀
Las cargas de signo contrario se anulan al sumarse. Parte de las líneas que salen de +2Q terminan en −Q, así que las líneas que salen a través de la superficie equivalen a Q.
Ejemplo 2
Si se duplica el radio de una superficie gaussiana esférica alrededor de una carga puntual Q, ¿cómo cambia el flujo eléctrico total?
1
La ley de Gauss solo mira la carga interior, sea cual sea la forma o el tamaño de la superficie.
Φ = Qε₀ (independiente de r)
2
La carga interior Q no cambia, así que el flujo tampoco cambia.
Φ(2r) = Qε₀ = Φ(r)
▸ No cambia
Como S₁ y S₂ en la figura, una superficie más grande la atraviesa el mismo número de líneas. Pero el campo E sobre la superficie disminuye en proporción inversa a r², así que no hay que confundir flujo con campo.
Resumen
Ley de Gauss
∮ E · dA = Qenc / ε₀
ε₀ = 8,85 × 10⁻¹² C²/(N·m²)
Problema tipo CSAT, adaptado
En el vacío, el campo a distancia r de una carga puntual Q es E. ¿Cuál es el campo a distancia 2r?
①2E
②E2
③E4
④4E
⑤E
▸ ③ E4
1
Al aplicar la ley de Gauss con simetría esférica se obtiene E = kQ/r², así que el campo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
E = kQr2
2
Si r se duplica, r² se multiplica por 4, así que E pasa a ser 1/4.
E(2r) = kQ(2r)2 = E4
🎯 Puntos clave
①La ley de Gauss ∮E·dA = Q/ε₀ trata del flujo total a través de una superficie cerrada
②La superficie gaussiana se elige aprovechando la simetría para que E sea constante sobre ella
③Con simetría esférica, una superficie gaussiana esférica da E = kQ/r²
④El campo eléctrico dentro de un conductor es 0, y la carga está solo en la superficie
⑤En electrostática, la ley de Gauss y la ley de Coulomb expresan lo mismo