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3° Secundaria (14-15 años)

Razones trigonométricas

Trigonometric Ratios

Una razón trigonométrica es el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, y al fijar el ángulo, el seno, el coseno y la tangente quedan determinados. Por eso mides la altura de un edificio, un árbol o una montaña sin subir. Mide desde lejos la distancia y el ángulo de elevación, y la altura es distancia × tan(ángulo). El deslizador del ángulo y el de ángulos especiales son ejes distintos; el cálculo de 50 m y 30° está en la caja de texto, no en el lienzo.

¿Qué es una razón trigonométrica? — lados de un triángulo rectángulo

30°
📐 Definiciones
①sen θ = opuesto / hipotenusa
②cos θ = adyacente / hipotenusa
③tan θ = opuesto / adyacente
④Si hipotenusa = 1: sen = opuesto, cos = adyacente

Ángulos especiales (30°, 45°, 60°)

45°
⭐ Cómo recordarlos
①30°: sen=1/2, cos=√3/2, tan=√3/3
②45°: sen=cos=√2/2, tan=1
③60°: sen=√3/2, cos=1/2, tan=√3
④30°↔60°: ¡sen y cos se intercambian!

Relaciones fundamentales

Identidad trigonométrica
tan θ = sin θcos θ
tan es sen/cos
Identidad pitagórica
sin²θ + cos²θ = 1
Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo de hipotenusa 1
💡 Uso de las identidades
①Si conoces sen θ → cos θ = √(1−sen²θ)
②Conociendo una, salen todas
③Para 0° < θ < 90°, las tres razones son positivas

Aplicación — alturas y distancias

Calcular la altura
h = d × tan θ
A partir de la distancia d y el ángulo de elevación θ
🏢 Ejemplos reales
①Altura de un edificio: distancia 50 m, elevación 30° → h = 50×tan30° ≈ 28,9 m
②Misma idea con árboles, montañas, torres
③El ángulo de depresión se trata igual

Resuélvelo

Ejemplo 1
Halla el valor de sen 30°.
1
Recuerda la tabla de ángulos especiales para 30°.
30° → sen=1/2
2
Así sen30° = 1/2.
sen30° = 1/2
▸ 1/2
Memoriza los valores de los ángulos especiales (30°, 45°, 60°).
Ejemplo 2
En un triángulo rectángulo, sen A = 3/5 y la hipotenusa mide 10. Halla el cateto opuesto al ángulo A.
1
Como sen A = opuesto/hipotenusa, opuesto = hipotenusa × sen A.
sen A = op/hip
2
opuesto = 10 × (3/5) = 6.
op = 10 × 3/5 = 6
▸ 6
De sen = opuesto/hipotenusa, opuesto = hipotenusa × sen.

Puntos clave de examen

Resumen de razones trigonométricas
sin = opphyp, cos = adjhyp, tan = oppadj
sen es opuesto/hipotenusa, cos es adyacente/hipotenusa, tan es opuesto/adyacente
Tipo examen 3.º ESO
¿Cuál es el valor de tan 60°?
①√3/3
②1/2
③√2
④√3
⑤2
▸ ④ √3
1
Consulta la tabla de ángulos especiales para 60°.
60° → tan=√3
2
Así tan60° = √3.
tan60° = √3
🎯 Puntos de examen
①Memoriza la tabla de ángulos especiales
②Usa sin²θ+cos²θ=1 para hallar la razón que falta
③Aplica tan = sen/cos
④Problemas de altura/distancia: elige la razón adecuada
⑤Solo ángulos agudos (0°~90°) — los obtusos vienen en bachillerato
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