Una razón trigonométrica es un cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, y en cuanto se fija un ángulo agudo, los valores del seno, el coseno y la tangente quedan fijados, sea cual sea el tamaño del triángulo.
Dos triángulos rectángulos de distinto tamaño con el mismo ángulo agudo son semejantes, así que sus lados guardan la misma razón.
Gracias a eso se puede calcular la altura de un edificio o de un árbol midiendo solo la distancia y el ángulo de elevación, sin subir a él.
La figura dibuja un triángulo rectángulo de hipotenusa 1, de modo que al cambiar el ángulo θ la altura varía como sen θ y la base como cos θ.
Razones entre los lados de un triángulo rectángulo
seegongsik.com
La altura sen θ, la base cos θ y el valor de tg θ en un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 al cambiar θ
30°
📐 Definiciones
①sen θ = altura ÷ hipotenusa: el cateto opuesto a θ dividido entre la hipotenusa.
②cos θ = base ÷ hipotenusa: el cateto contiguo a θ dividido entre la hipotenusa.
③tg θ = altura ÷ base.
④Si la hipotenusa mide 1, la altura es directamente sen θ y la base, cos θ; es justo el caso de la figura.
Razones de los ángulos notables (30°, 45°, 60°)
seegongsik.com
Una tabla con el seno, el coseno y la tangente de 30°, 45° y 60°
45°
⭐ Valores de los ángulos notables
①En 30°: sen = 1/2, cos = √3/2, tg = √3/3.
②En 45°: sen = cos = √2/2, tg = 1.
③En 60°: sen = √3/2, cos = 1/2, tg = √3.
④Los valores de seno y coseno de 30° y 60° se intercambian, porque los dos ángulos suman 90° y la altura de uno es la base del otro.
Relaciones entre las razones
La tangente a partir de seno y coseno
tan θ = sin θcos θ
tg θ es sen θ dividido entre cos θ.
Relación que sale de Pitágoras
sen²θ + cos²θ = 1
Es el teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo rectángulo de hipotenusa 1.
💡 Usar las relaciones
①Si se conoce sen θ, cos θ = √(1 − sen²θ).
②Basta conocer una razón para hallar las otras dos.
③Para 0° < θ < 90°, seno, coseno y tangente son positivos.
④El valor de sen² + cos² a la derecha de la figura sigue siendo 1 aunque cambie el ángulo.
Calcular alturas y distancias
Calcular una altura
altura h = d × tg θ
Se calcula la altura a partir de la distancia d y el ángulo de elevación θ.
🏢 Ejemplos cotidianos
①A 50 m de un edificio, si se mira su azotea con un ángulo de 30°, h = 50 × tg 30° ≈ 28,9 m.
②La altura de árboles, torres y montañas se halla igual.
③Si se mide a la altura de los ojos, se suma esa altura al resultado.
④Los ángulos de depresión se resuelven del mismo modo, formando un triángulo rectángulo.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla el valor de sen 30°.
1
30° es un ángulo notable, así que se recuerda su valor.
30° → sen = 1/2
2
En este triángulo rectángulo la altura es la mitad de la hipotenusa, así que sen 30° = 1/2.
sen 30° = 1/2
▸ 1/2
Los valores de 30°, 45° y 60° salen directamente de un triángulo equilátero y de uno rectángulo isósceles.
Ejemplo 2
En un triángulo rectángulo, sen A = 3/5 y la hipotenusa mide 10. Halla el cateto opuesto al ángulo A.
1
sen A = cateto opuesto ÷ hipotenusa, así que cateto opuesto = hipotenusa × sen A.
sen A = op/hip
2
10 × 3/5 = 6.
op = 10 × 3/5 = 6
▸ 6
Al usar al revés la definición del seno se obtiene el cateto opuesto a partir de la hipotenusa y el ángulo.
Puntos clave para el examen
Definición de las razones
sin = opphyp, cos = adjhyp, tan = oppadj
La altura y la base se leen respecto al ángulo θ; si el ángulo cambia, también cambian ellas.
Tipo examen 3.º ESO
¿Cuál es el valor de tg 60°?
①√3/3
②1/2
③√2
④√3
⑤2
▸ ④ √3
1
Se busca 60° en la tabla de ángulos notables.
60° → tg = √3
2
Por tanto, tg 60° = √3.
tg 60° = √3
🎯 Puntos de examen
①Hay que saber con exactitud los valores de 30°, 45° y 60°.
②Con sen²θ + cos²θ = 1 se hallan las demás razones.
③Se aprovecha tg θ = sen θ ÷ cos θ.
④En problemas de alturas y distancias, se elige la razón según el lado conocido y el buscado.