Una circunferencia y una recta solo pueden encontrarse de tres maneras, y cuál se da depende de comparar la distancia d del centro a la recta con el radio r.
Si d es menor que r, la recta corta la circunferencia en dos puntos; si d = r, la toca en un solo punto; y si d es mayor que r, no se encuentran.
La recta que toca la circunferencia en un punto, la tangente, es siempre perpendicular al radio en el punto de tangencia, así que el radio, la tangente y el segmento hasta el centro forman un triángulo rectángulo.
Ese triángulo muestra a la vez que las dos tangentes trazadas desde un punto exterior miden lo mismo y cómo hallar su longitud con el teorema de Pitágoras.
Posiciones de una recta y una circunferencia
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Una circunferencia de radio r = 80 y una recta a distancia d del centro, con la longitud de la cuerda, al variar d
80
📏 Decidir con d y r
①Si d < r, la recta corta a la circunferencia en dos puntos: es secante, y el segmento entre los dos puntos es una cuerda.
②Si d = r, la recta la toca en un punto y es tangente.
③Si d > r, no se encuentran.
④En el caso secante, la cuerda mide 2√(r² − d²). El radio de la figura es 80, así que con d = 80 la recta es tangente y con d = 0 la cuerda es el diámetro, 160.
Propiedades de las tangentes
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Dos tangentes trazadas desde un punto exterior P, sus puntos de tangencia A y B y los ángulos rectos con los radios
140
✨ Dos propiedades de las tangentes
①La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia (OA ⊥ PA).
②Por eso △OAP y △OBP son triángulos rectángulos con la hipotenusa OP común y OA = OB: son iguales, y las dos tangentes desde un punto exterior miden lo mismo (PA = PB).
③Por Pitágoras, la longitud de la tangente es √(OP² − r²). Al alargar OP en la figura, las dos tangentes crecen a la vez y siempre valen lo mismo.
La mediatriz de una cuerda
Propiedad de las cuerdas
la perpendicular trazada desde el centro a una cuerda la divide en dos partes iguales
Al revés, la mediatriz de una cuerda pasa por el centro.
Longitud de una cuerda
longitud de la cuerda = 2√(r² − d²)
d es la distancia del centro a la cuerda.
💡 Teoremas sobre cuerdas
①Dos cuerdas a la misma distancia del centro miden lo mismo y, al revés, dos cuerdas iguales están a la misma distancia del centro.
②Cuanto más cerca del centro está una cuerda, más larga es.
③La cuerda más larga es el diámetro, que pasa por el centro (d = 0).
El ángulo entre una tangente y una cuerda
Ángulo semiinscrito
ángulo entre tangente y cuerda = ángulo inscrito sobre el arco que abarca
Esta propiedad enlaza con los ángulos inscritos del tema siguiente.
📐 Cómo usar esta propiedad
①El ángulo entre una tangente y una cuerda que pasa por el punto de tangencia es igual al ángulo inscrito que abarca el mismo arco.
②Así, un ángulo del lado de la tangente se puede trasladar a un ángulo inscrito dentro de la circunferencia y calcularse allí.
③Al trasladar un ángulo, hay que comprobar siempre que ambos abarcan el mismo arco.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
En una circunferencia de radio 5, halla la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es 3.
1
La perpendicular desde el centro divide la cuerda en dos mitades, así que el radio 5, la distancia 3 y media cuerda forman un triángulo rectángulo.
cuerda = 2√(5²−3²)
2
Media cuerda mide 4, así que la cuerda mide el doble.
= 2√16 = 8
▸ 8
Al bajar una perpendicular del centro a una cuerda aparece un triángulo rectángulo, y Pitágoras da la longitud de la cuerda.
Ejemplo 2
Desde un punto exterior P, halla la longitud de la tangente a la circunferencia. (OP=13, radio r=5)
1
La tangente es perpendicular al radio, así que se usa el triángulo rectángulo de hipotenusa OP.
tangente = √(13²−5²)
2
Se calcula la raíz cuadrada de 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
= √144 = 12
▸ 12
La longitud de la tangente es √(OP² − r²).
Puntos clave para el examen
Lo esencial de circunferencia y recta
tangente ⊥ radio · PA = PB · cuerda = 2√(r² − d²)
Las tres propiedades llevan a triángulos rectángulos y al teorema de Pitágoras.
Tipo examen 3.º ESO
Desde un punto exterior P, dos tangentes tocan la circunferencia en A y B. Si ∠APB=50°, halla ∠AOB (O es el centro).
①110°
②120°
③130°
④140°
⑤150°
▸ ③ 130°
1
La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia, así que ∠OAP = ∠OBP = 90°.
∠OAP = ∠OBP = 90°
2
Se restan los otros tres ángulos de 360°, la suma de ángulos del cuadrilátero PAOB.
∠AOB = 360−90−90−50 = 130°
🎯 Puntos de examen
①De tangente ⊥ radio se obtiene un triángulo rectángulo donde aplicar Pitágoras.
②Las dos tangentes trazadas desde un punto exterior miden lo mismo (PA = PB).
③La mediatriz de una cuerda pasa por el centro.
④El ángulo entre dos tangentes desde un punto exterior y el ángulo central entre los dos radios suman 180°.
⑤La longitud de una cuerda la fija su distancia al centro.