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Mis palabras
3° Secundaria (14-15 años)

Circunferencia y recta

Circle and Line

Una recta y una circunferencia se encuentran de tres maneras. Si el centro está más cerca que el radio, la corta en dos puntos (secante); si la iguala, la toca en uno (tangente); si es mayor, no se cruzan. La tangente es perpendicular al radio, y dos tangentes desde un punto exterior miden igual. Mueve la distancia y observa una secante volverse tangente.

Posición relativa
80
📏 Posiciones
①d < r → secante (2 cortes)
②d = r → tangente
③d > r → sin cortes
④cuerda = 2√(r² − d²)
Tangente
20°
✨ Esencia
①Tangente perpendicular al radio (OT ⊥ PT)
②PA = PB
③Longitud: √(OP² − r²)
Mediatriz de la cuerda
Propiedad
el centro está en la mediatriz de toda cuerda
la perpendicular del centro a la cuerda la biseca
Longitud
cuerda = 2√(r² − d²)
d = distancia del centro a la cuerda
💡 Propiedades
①Cuerdas equidistantes son iguales
②El diámetro es la cuerda mayor
③A más cerca del centro, más larga
Ángulo seminscrito
Teorema
ángulo tangente-cuerda = ángulo inscrito que abarca la cuerda
teorema del ángulo seminscrito
📐 Aplicación
①Igualdad de ángulos seminscrito e inscrito
②Útil para hallar ángulos
③Igual al inscrito sobre el arco opuesto
Resuélvelo
Ejemplo 1
En una circunferencia de radio 5, halla la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es 3.
1
Longitud de la cuerda = 2√(r²−d²), con r=5, d=3.
cuerda = 2√(5²−3²)
2
= 2√16 = 2·4 = 8.
= 2√16 = 8
▸ 8
La perpendicular del centro biseca la cuerda → triángulo rectángulo + Pitágoras.
Ejemplo 2
Desde un punto exterior P, halla la longitud de la tangente a la circunferencia. (OP=13, radio r=5)
1
Longitud de la tangente = √(OP²−r²), con OP=13, r=5.
tangente = √(13²−5²)
2
= √(169−25) = √144 = 12.
= √144 = 12
▸ 12
La tangente ⊥ radio da un triángulo rectángulo → Pitágoras.
Puntos clave
Esencia
tangente ⊥ radio; PA = PB; cuerda = 2√(r² − d²)
tres propiedades fundamentales
Tipo examen 3.º ESO
Desde un punto exterior P, dos tangentes tocan la circunferencia en A y B. Si ∠APB=50°, halla ∠AOB (O es el centro).
①110°
②120°
③130°
④140°
⑤150°
▸ ③ 130°
1
Como la tangente ⊥ radio, ∠OAP=∠OBP=90°.
∠OAP = ∠OBP = 90°
2
En el cuadrilátero PAOB (suma 360°), ∠AOB = 360−90−90−50 = 130°.
∠AOB = 360−90−90−50 = 130°
🎯 Puntos clave
①Tangente ⊥ radio → Pitágoras
②Tangentes desde un punto exterior iguales
③Mediatriz de la cuerda pasa por el centro
④Aplica potencia del punto en tangentes/secantes
⑤Cuadriláteros circunscritos: lados opuestos suman igual
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