Cuando un punto P de una circunferencia mira a otros dos puntos A y B de ella, el ángulo ∠APB se llama ángulo inscrito sobre el arco AB.
Un ángulo inscrito mide exactamente la mitad del ángulo central ∠AOB sobre el mismo arco, y no cambia por mucho que P se mueva por el mismo lado de la circunferencia.
Por eso el ángulo inscrito sobre un diámetro es la mitad de 180°, es decir 90°, y los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito suman 180°.
Al mover P por la circunferencia en la primera figura cambia la inclinación de los segmentos, pero el ángulo marcado en P mantiene su tamaño.
Ángulo central y ángulo inscrito
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El ángulo central ∠AOB sobre el arco AB y el ángulo inscrito ∠APB visto desde un punto P de la circunferencia
80
30
👀 Relación entre ángulo inscrito y central
①Un ángulo inscrito sobre un arco mide la mitad del ángulo central sobre ese arco.
②Al revés, el ángulo central es el doble del inscrito.
③Mientras P siga en el mismo lado, el ángulo inscrito vale lo mismo esté donde esté. Con un ángulo central de 80° en la figura, el inscrito sigue en 40° aunque P se mueva.
Los ángulos inscritos sobre un mismo arco son iguales
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Los ángulos inscritos en tres puntos P₁, P₂, P₃ que miran al mismo arco AB
100
🔑 Propiedad de los ángulos inscritos
①En una misma circunferencia, los ángulos inscritos sobre el mismo arco (o sobre arcos iguales) son iguales.
②El ángulo inscrito sobre una semicircunferencia, es decir sobre un diámetro, mide 90°.
③Al cambiar el tamaño del arco cambian a la vez los tres ángulos inscritos, que siempre valen lo mismo.
El ángulo inscrito sobre un diámetro
Ángulo inscrito en una semicircunferencia
ángulo inscrito sobre el diámetro AB: ∠APB = 90°
El ángulo central sobre un diámetro es 180°, así que el inscrito es la mitad, 90°.
📐 Diámetros y ángulos rectos
①Al unir un punto de la circunferencia con los extremos de un diámetro se forma siempre un ángulo recto en ese punto.
②Al revés, si un ángulo inscrito mide 90°, la cuerda que abarca es un diámetro.
③Por eso la hipotenusa de un triángulo rectángulo es un diámetro de la circunferencia que pasa por sus tres vértices.
Cuadriláteros inscritos en una circunferencia
Propiedad del cuadrilátero inscrito
suma de dos ángulos opuestos = 180°
Los arcos que abarcan los dos ángulos completan la circunferencia (ángulo central 360°).
Propiedad del ángulo exterior
un ángulo exterior = el ángulo interior opuesto
El ángulo exterior en un vértice es igual al ángulo interior del vértice opuesto.
💡 Usar los cuadriláteros inscritos
①En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, ∠A + ∠C = 180° y ∠B + ∠D = 180°.
②Al revés, un cuadrilátero cuyos ángulos opuestos suman 180° se puede inscribir en una circunferencia.
③Si dos ángulos que miran un mismo segmento desde el mismo lado son iguales, los cuatro puntos están en una misma circunferencia.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
El ángulo central sobre un arco es 100°. Halla el ángulo inscrito sobre el mismo arco.
1
Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central sobre el mismo arco.
inscrito = central ÷ 2
2
Se divide entre 2 el ángulo central de 100°.
= 100° ÷ 2 = 50°
▸ 50°
El ángulo inscrito sobre un arco es la mitad del central.
Ejemplo 2
Para un diámetro AB y un punto P en la circunferencia, halla ∠APB.
1
El ángulo central sobre el diámetro AB mide 180°.
central = 180°
2
El ángulo inscrito es la mitad.
∠APB = 180° ÷ 2 = 90°
▸ 90°
El ángulo inscrito sobre un diámetro mide siempre 90°.
Puntos clave para el examen
Lo esencial de los ángulos inscritos
inscrito = central ÷ 2 · mismo arco → mismo inscrito · diámetro → 90°
Casi todos los problemas de ángulos inscritos se resuelven con una de estas tres propiedades.
Tipo examen 3.º ESO
Si el ángulo inscrito sobre un arco es 35°, ¿cuál es el ángulo central sobre el mismo arco?
①17.5°
②35°
③55°
④70°
⑤145°
▸ ④ 70°
1
El ángulo central es el doble del inscrito.
central = inscrito × 2
2
= 35° × 2 = 70°.
= 35° × 2 = 70°
🎯 Puntos de examen
①Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central sobre el mismo arco.
②Los ángulos inscritos sobre el mismo arco son iguales sea cual sea la posición del punto.
③El ángulo inscrito sobre un diámetro mide 90°.
④Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito suman 180°.
⑤Muchos problemas se resuelven trazando un diámetro auxiliar para formar un ángulo recto.