El ángulo inscrito es el que ves al mirar dos puntos desde la circunferencia.
Todos los inscritos sobre el mismo arco miden igual, estés donde estés, y son la mitad del central de ese arco.
El inscrito sobre un diámetro siempre vale 90°, lo que facilita hallar triángulos rectángulos en el círculo.
Mueve el punto y comprueba por qué el ángulo inscrito no cambia.
Ángulo central y ángulo inscrito
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Comparación entre ángulo central e inscrito
80
30°
👀 Relación clave
①El ángulo inscrito = mitad del central que abarca el mismo arco
②Central = inscrito × 2
③Sin importar dónde esté P, el ángulo es el mismo
Inscritos sobre el mismo arco
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Inscritos en distintos puntos del mismo arco
100
🔑 Propiedad
①Los inscritos sobre el mismo arco son iguales
②El inscrito sobre un diámetro vale 90°
③Es la propiedad más usada
Inscrito sobre un diámetro
Teorema de Tales
∠APB = 90° si AB es un diámetro
el inscrito sobre el diámetro es recto
📐 Aplicación
①Diámetro → inscrito 90° (teorema de Tales)
②Recíproco: si el inscrito es 90°, la cuerda es un diámetro
③En triángulo rectángulo, la hipotenusa coincide con el diámetro de la circunscrita
Cuadrilátero inscrito
Propiedad
ángulos opuestos suman 180°
en cuadriláteros inscritos
Ángulo exterior
exterior = ángulo opuesto interno
el exterior coincide con el opuesto interno
💡 Aplicación
①∠A + ∠C = 180°; ∠B + ∠D = 180°
②Recíproco: opuestos suman 180° → es inscrito
③Inscritos iguales sobre el mismo lado → puntos concíclicos
Resuélvelo
Ejemplo 1
El ángulo central sobre un arco es 100°. Halla el ángulo inscrito sobre el mismo arco.
1
El ángulo inscrito es la mitad del central.
inscrito = central ÷ 2
2
= 100° ÷ 2 = 50°.
= 100° ÷ 2 = 50°
▸ 50°
El inscrito es la mitad del central sobre el mismo arco.
Ejemplo 2
Para un diámetro AB y un punto P en la circunferencia, halla ∠APB.
1
Un ángulo sobre un diámetro corresponde a un ángulo central de 180°.
central = 180°
2
inscrito = 180° ÷ 2 = 90°.
∠APB = 180° ÷ 2 = 90°
▸ 90°
El inscrito sobre un diámetro siempre es 90° (Tales).
Puntos clave
Esencia
inscrito = central/2; mismo arco → mismo inscrito; diámetro → 90°
tres propiedades clave
Tipo examen 3.º ESO
Si el ángulo inscrito sobre un arco es 35°, ¿cuál es el ángulo central sobre el mismo arco?
①17.5°
②35°
③55°
④70°
⑤145°
▸ ④ 70°
1
El ángulo central es el doble del inscrito.
central = inscrito × 2
2
= 35° × 2 = 70°.
= 35° × 2 = 70°
🎯 Puntos clave
①Inscrito = central ÷ 2
②Inscritos sobre el mismo arco coinciden
③Diámetro: inscrito 90°
④Cuadrilátero inscrito: opuestos suman 180°
⑤Auxiliar: traza el diámetro para crear un ángulo recto