Valores representativos y dispersión

Mean, Median, Mode & Standard Deviation

Un examen suelta 30 notas de golpe, y un valor representativo las resume en un número. Además de la media, la mediana es el valor central al ordenar, y la moda es la que más se repite. La dispersión mide cuánto se alejan los datos de la media, con la varianza y su raíz, la desviación típica. Mueve la dispersión y el atípico: sacude la media pero apenas la mediana.

Intuición — resumir un conjunto de datos en un solo número

Dispersión1.5

👀 Por qué necesitamos un valor representativo

①Un examen da 30 notas

②No se pueden memorizar 30 números

③Resumir con un solo número → ese es el valor representativo

④Media, mediana, moda — ¿cuándo usar cada una? El primer gráfico tiene 20 puntos en torno a 70. La marca 1.5 es una escala relativa, no σ muestral. La tarjeta de 5 personas 60, 70, 70, 80, 100 es otro conjunto. La varianza usa /n

Tres valores representativos

Media

x̄ = x₁ + x₂ + ... + x_nn

Suma de todos los valores dividida por la cantidad. El valor representativo más usado

Mediana

Ordena los datos → valor central

Si n es par, media de los dos centrales. Menos afectada por valores extremos

Moda

El valor que más se repite

Puede haber varias. Ideal para datos categóricos (color, género)

💡 Ejemplo concreto

①Cinco notas: 60, 70, 70, 80, 100

②Media = (60+70+70+80+100)/5 = 76

③Mediana = 3.er valor = 70 (centro al ordenar)

④Moda = 70 (aparece dos veces — la más frecuente)

⑤Media (76) ≠ mediana (70) — ¡el 100 elevó la media!

Valores atípicos y elección del valor adecuado

Nota del 5.º estudiante80

⚠️ Cuando hay un valor atípico

①Un valor extremadamente grande o pequeño = valor atípico

②El atípico distorsiona mucho la media

③Pero la mediana apenas cambia

④Ej.: salario medio alto por unos pocos altos sueldos → mediana más realista

⑤Examen: '¿valor adecuado con extremos?' → ¡la mediana!

Dispersión — desviación, varianza, desviación típica

Desviación

desviación = (valor) − (media)

Cuánto se aleja cada valor de la media. ¡La suma de desviaciones es siempre 0!

Varianza

V = (dev)²₁ + (dev)²₂ + ... + (dev)²_nn

Media de las desviaciones al cuadrado. Se eleva al cuadrado porque la suma de desviaciones es 0

Desviación típica

σ = √V = √(varianza)

Raíz cuadrada de la varianza — vuelve a las unidades originales

🔍 ¿Por qué elevar al cuadrado?

①Al sumar las desviaciones, los + y − se cancelan y dan 0

②Elevamos al cuadrado para que todas sean positivas, y luego promediamos

③Eso es la varianza V

④La varianza tiene unidad (puntos)², difícil de interpretar

⑤La raíz cuadrada vuelve a la unidad original (puntos): es la desviación típica

Resuélvelo

Ejemplo 1

Halla la mediana de los datos 1, 3, 5, 7, 9.

Ordena los datos (ya están ordenados).

1, 3, 5, 7, 9

Con 5 valores (impar), la mediana es el 3.er (central).

mediana = 5

▸ 5

Impar → valor central; par → media de los dos centrales.

Ejemplo 2

Halla la varianza de los datos 1, 3, 5.

Halla la media: (1+3+5)/3 = 3.

media = (1+3+5)/3 = 3

Promedia las desviaciones al cuadrado: ((−2)²+0²+2²)/3.

varianza = (4+0+4)/3 = 8/3

▸ 8/3

Varianza = media de las desviaciones al cuadrado. Desviación = valor − media.

Puntos clave de examen

Núcleo de la dispersión

V = Σ(dev)²n, σ = √V

Cuanto menor sea σ, más concentrados están los datos en torno a la media

Tipo examen 3.º ESO

La media de los cinco valores 5, 6, 8, 9, x es 7. Halla x.

①5

②6

③7

④8

⑤9

▸ ③ 7

Media = (suma) ÷ (número), así que la suma = 7 × 5 = 35.

5+6+8+9+x = 35

28 + x = 35, así que x = 7.

28+x=35 ⇒ x=7

🎯 Puntos de examen

①Suma de desviaciones = 0 (siempre — útil para verificar)

②Varianza = media de desviaciones al cuadrado; σ = √V

③σ pequeña → datos muy agrupados

④Con valores atípicos, mejor mediana que media

⑤Unidad de la varianza = (original)², σ tiene la unidad original

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Ángulos inscritos

Correlación

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