Cuando hay muchos números, como las notas de una clase de 30, cuesta abarcarlos de un vistazo, así que se resumen con un solo valor típico: una medida de centralización.
Hay tres: la media, que suma todos los valores y divide entre su número; la mediana, el valor central al ordenarlos; y la moda, el valor que más se repite. Cada una conviene a un tipo de datos.
Dos conjuntos pueden tener el mismo valor típico y estar uno agrupado junto a la media y el otro muy disperso, por eso también se miran la varianza y la desviación típica, que miden la dispersión.
Las figuras muestran sobre todo que un solo valor atípico, muy alejado del resto, mueve mucho la media mientras la mediana apenas cambia.
Resumir muchos datos en un número
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La forma de 20 datos en una recta numérica, con su media, mediana, moda y desviación típica, al cambiar la dispersión
1.5
👀 Por qué hace falta un valor típico
①Tras un examen llegan de golpe las notas de toda la clase.
②Mirar los números uno a uno oculta la imagen de conjunto.
③Por eso se describen los datos con un solo número representativo, una medida de centralización.
④La desviación típica de la parte superior de la figura se calcula directamente con los 20 puntos dibujados. Al aumentar la dispersión, la media sigue cerca de 70 pero la desviación típica crece.
Tres medidas de centralización
Media
x̄ = x1 + x2 + ... + xnn
La suma de todos los valores dividida entre el número de datos; es la medida más usada.
Mediana
el valor central cuando los datos se ordenan de menor a mayor
Con un número par de datos es la media de los dos centrales. Le afectan menos los valores extremos.
Moda
el valor que más se repite
Puede haber más de una. También sirve para datos que no son números, como el color favorito.
💡 Calcularlas con cinco notas
①Cinco alumnos sacaron 60, 70, 70, 80 y 100.
②La media es (60 + 70 + 70 + 80 + 100) ÷ 5 = 76.
③La mediana, el tercer valor en orden, es 70.
④El 70 aparece dos veces, así que es la moda.
⑤La media 76 supera a la mediana 70 porque la única nota alta, 100, tira de la media hacia arriba.
Valores atípicos y elección de la medida
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Cuánto se mueven la media y la mediana cuando solo cambia el tiempo de lectura del quinto alumno
80
⚠️ Cuando hay un valor atípico
①Un valor muy alejado de los demás se llama valor atípico.
②Un valor atípico arrastra con fuerza la media hacia él.
③La mediana es el valor de la posición central, así que casi no depende de lo grande que sea el atípico.
④En datos con unos pocos valores muy grandes, como los ingresos, la mediana refleja mejor la realidad que la media.
⑤En la figura, aunque el quinto valor suba hasta 200, la mediana se queda en 70.
La dispersión: desviación, varianza y desviación típica
Desviación
desviación = dato − media
Indica cuánto se aleja cada valor de la media, y la suma de todas las desviaciones es siempre 0.
Varianza
V = (dev)21 + (dev)22 + ... + (dev)2nn
La media de las desviaciones al cuadrado. Se elevan al cuadrado porque su media sin más siempre es 0.
Desviación típica
desviación típica = √(varianza)
Al sacar la raíz cuadrada de la varianza se recuperan las unidades de los datos originales.
🔍 ¿Por qué al cuadrado?
①Al sumar todas las desviaciones, las positivas y las negativas se anulan y el total es siempre 0.
②Por eso se elevan al cuadrado, para que todas sean 0 o más, y después se promedian.
③Ese promedio es la varianza.
④La varianza está en unidades al cuadrado (puntos²), difíciles de interpretar.
⑤Su raíz cuadrada, de nuevo en las unidades originales (puntos), es la desviación típica.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla la mediana de los datos 1, 3, 5, 7, 9.
1
Se ordenan los datos de menor a mayor; ya están ordenados.
1, 3, 5, 7, 9
2
Hay 5 datos, un número impar, así que el valor central (el tercero) es la mediana.
mediana = 5
▸ 5
Con un número impar de datos la mediana es el central; con un número par, la media de los dos centrales.
Ejemplo 2
Halla la varianza de los datos 1, 3, 5.
1
Se calcula la media: (1 + 3 + 5) ÷ 3 = 3.
media = (1+3+5)/3 = 3
2
Se elevan al cuadrado las desviaciones −2, 0 y 2 y se halla su media.
varianza = (4+0+4)/3 = 8/3
▸ 8/3
La varianza es la media de las desviaciones al cuadrado, y cada desviación es un dato menos la media.
Puntos clave para el examen
Lo esencial de la dispersión
V = Σ(dev)2n, σ = √V
Cuanto menor es la desviación típica, más agrupados están los datos en torno a la media.
Tipo examen 3.º ESO
La media de los cinco valores 5, 6, 8, 9, x es 7. Halla x.
①5
②6
③7
④8
⑤9
▸ ③ 7
1
Media = (suma) ÷ (número), así que la suma = 7 × 5 = 35.
5+6+8+9+x = 35
2
28 + x = 35, así que x = 7.
28+x=35 ⇒ x=7
🎯 Puntos de examen
①La suma de las desviaciones es siempre 0; sirve para comprobar cálculos.
②La varianza es la media de las desviaciones al cuadrado y la desviación típica, su raíz cuadrada.
③Una desviación típica pequeña indica datos agrupados de forma regular cerca de la media.
④Con valores extremos, la mediana es mejor medida que la media.
⑤La varianza va en unidades al cuadrado; la desviación típica, en las unidades originales.