Las funciones cuadráticas no se quedan en dibujar gráficas: sirven para encontrar cuándo una cantidad es máxima o mínima.
Una parábola alcanza su punto más alto o más bajo en el vértice, así que si a > 0 la ordenada del vértice es el mínimo, y si a < 0, el máximo.
Sin embargo, si x está restringida a un intervalo, el vértice puede quedar fuera, y entonces hay que comparar también los valores en los extremos.
Encontrar la forma del rectángulo de mayor área que se puede cercar con 20 m de valla se reduce a un solo vértice cuando el área se escribe como función cuadrática de la base.
Máximo y mínimo en un intervalo
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Dónde se alcanzan el máximo y el mínimo de y = (x − 1)² − 2 al cambiar el intervalo de x
-1
4
📊 Cómo encontrar el máximo y el mínimo
①Si el vértice está dentro del intervalo de x, la función alcanza allí su mínimo (si a > 0) o su máximo (si a < 0).
②Si el vértice está fuera del intervalo, se comparan los valores en los extremos.
③Los candidatos son el vértice y los dos extremos.
④Con el intervalo inicial −1 ≤ x ≤ 4 de la figura, el mínimo −2 está en el vértice (1, −2) y el máximo 7 en el extremo derecho x = 4.
La valla que encierra más área
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La base x y el área S de un rectángulo de perímetro 20 m, y la gráfica de S = x(10 − x)
5
🏠 Resolver el problema de la valla
①Un perímetro de 20 m significa que base más altura suman 10 m, así que si la base es x, la altura es 10 − x.
②El área es S = x(10 − x) = −x² + 10x, una función cuadrática de x.
③S = −(x − 5)² + 25, así que el área máxima, 25 m², se da en x = 5.
④El área es máxima para el cuadrado de 5 m por 5 m; el vértice de la gráfica de la derecha marca justo ese momento.
Funciones cuadráticas y ecuaciones de segundo grado
El enlace entre función y ecuación
al poner y = 0 en y = ax² + bx + c se obtiene ax² + bx + c = 0
Las abscisas de los cortes de la gráfica con el eje x son las raíces de la ecuación.
🔗 Tres enlaces
①Las abscisas de los puntos donde la gráfica corta al eje x son las raíces de la ecuación de segundo grado.
②El signo del discriminante D indica cuántos puntos comparte la gráfica con el eje x.
③Los puntos donde se cortan dos gráficas son las soluciones del sistema formado por sus ecuaciones.
Hallar la expresión de una función cuadrática
Vértice y otro punto
vértice (p, q) y un punto (x₁, y₁) → sustituir en y = a(x − p)² + q
Conocido el vértice, solo falta hallar a.
Dos cortes con el eje x y otro punto
corta al eje x en x = α, β → sustituir un punto en y = a(x − α)(x − β)
Si se conocen los cortes con el eje x, se usa la forma factorizada.
📝 Estrategia para hallar la expresión
①Si se da el vértice, se usa la forma canónica.
②Si se dan los dos cortes con el eje x, se usa la forma factorizada.
③Si se dan tres puntos de la gráfica, se sustituyen en y = ax² + bx + c y se resuelve el sistema.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla el valor mínimo de y=x²−4x+7.
1
Se completa el cuadrado: x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3.
y = (x−2)²+3
2
Como a > 0, el mínimo está en el vértice y vale 3.
mín = 3 (en x=2)
▸ 3
Si a > 0, el mínimo se alcanza en el vértice.
Ejemplo 2
Halla el valor máximo de y=−(x−1)²+5.
1
El vértice es (1, 5) y a = −1 < 0.
y = −(x−1)²+5
2
Como a < 0, el máximo está en el vértice y vale 5.
máx = 5 (en x=1)
▸ 5
Si a < 0, el máximo se alcanza en el vértice.
Puntos clave para el examen
Lo esencial de las aplicaciones
máximo y mínimo → vértice y extremos · cortes con el eje x → discriminante · hallar la expresión → condiciones en la forma adecuada
Casi todos los problemas de aplicación son de uno de estos tres tipos.
Tipo examen 3.º ESO
¿Cuál es el valor mínimo de y=2x²−8x+11?
①1
②3
③5
④8
⑤11
▸ ② 3
1
Completa cuadrados: 2x²−8x+11 = 2(x−2)²+3.
y = 2(x−2)²+3
2
Como a=2>0, el mínimo en x=2 es 3.
mín = 3
🎯 Puntos de examen
①El máximo o el mínimo se alcanza en el vértice: mínimo si a > 0, máximo si a < 0.
②Si x está restringida, siempre se comparan también los valores en los extremos.
③Si se pregunta por el área o la distancia máxima, se expresa como función cuadrática y se busca el vértice.
④Las abscisas de los cortes con el eje x son las raíces de la ecuación de segundo grado.
⑤Para hallar la expresión, se elige la forma que encaja con los datos.