Aplicaciones de la función cuadrática

Applications of Quadratic Functions

Las funciones cuadráticas no solo sirven para dibujar gráficas; también hallan valores máximos y mínimos. Como la parábola alcanza su punto más alto o más bajo en el vértice, maximizar un área resulta sencillo. Con una cerca de longitud fija, una sola cuadrática indica cuándo el rectángulo encierra la mayor área. Desliza los extremos del dominio y el ancho de la cerca y aparecen el máximo y el mínimo.

Máximo y mínimo en un dominio

Inicio del dominio-1

Fin del dominio4

📊 Estrategia para máximo/mínimo

①Si el vértice está dentro del dominio → su valor es máximo o mínimo

②Si está fuera → comparar los dos extremos

③Candidatos: vértice, extremo izquierdo, extremo derecho. Esta gráfica está fija: y=(x−1)²−2. En el dominio −1≤x≤4 el máx es 7 y el mín es −2. Intersecciones y la fórmula quedan en las cajas de texto

Área máxima — problema de la cerca

Ancho x (m)5

🏠 Solución del problema de la cerca

①Perímetro = 20 m → ancho x, alto (10−x)

②Área S = x(10−x) = −x²+10x

③Máximo en el vértice de la parábola

④x = 5 → S = 25 m² (¡un cuadrado!)

Función cuadrática ↔ ecuación cuadrática

Conexión función-ecuación

En y = ax²+bx+c, hacer y=0 → ax²+bx+c = 0

Cortes con el eje x de la gráfica = raíces de la ecuación

🔗 La conexión

①Donde la gráfica corta al eje x → raíces de la ecuación

②El discriminante D indica el número de intersecciones

③Intersección de dos funciones → sistema de ecuaciones

Hallar la expresión de la cuadrática

Vértice y un punto

Vértice (p,q) + punto (x₁,y₁) → sustituir en y=a(x−p)²+q

Conocido el vértice, solo falta a

Dos cortes con x y un punto

Cortes α, β → y=a(x−α)(x−β); sustituir un punto

Si se conocen las raíces, usar la forma factorizada

📝 Estrategia para hallar la expresión

①Vértice dado → forma vértice

②Cortes con x dados → forma factorizada

③Tres puntos dados → forma general y=ax²+bx+c con sistema

Resuélvelo

Ejemplo 1

Halla el valor mínimo de y=x²−4x+7.

Completa cuadrados: x²−4x+7 = (x−2)²+3.

y = (x−2)²+3

Como a>0, el mínimo está en el vértice: 3.

mín = 3 (en x=2)

▸ 3

Si a>0, el vértice da el valor mínimo.

Ejemplo 2

Halla el valor máximo de y=−(x−1)²+5.

El vértice es (1, 5) y a=−1<0.

y = −(x−1)²+5

Como a<0, el máximo está en el vértice: 5.

máx = 5 (en x=1)

▸ 5

Si a<0, el vértice da el valor máximo.

Puntos clave de examen

Núcleo de la aplicación

Máx/mín → vértice, intersecciones → discriminante, hallar expresión → sustituir condiciones

Tres tipos clave de aplicación

Tipo examen 3.º ESO

¿Cuál es el valor mínimo de y=2x²−8x+11?

①1

②3

③5

④8

⑤11

▸ ② 3

Completa cuadrados: 2x²−8x+11 = 2(x−2)²+3.

y = 2(x−2)²+3

Como a=2>0, el mínimo en x=2 es 3.

mín = 3

🎯 Puntos de examen

①El máx/mín está en el vértice (mínimo si a>0, máximo si a<0)

②Con dominio restringido, comprobar también los extremos

③Maximizar área/distancia → modelar como cuadrática → vértice

④Cortes con x = raíces de la ecuación asociada

⑤Elegir la forma adecuada según las condiciones dadas

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Gráfica de la función cuadrática

Razones trigonométricas

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