La gráfica de una función cuadrática y = ax² + bx + c es una curva suave llamada parábola, igual a ambos lados de una recta de simetría.
En la forma más básica, y = ax², el signo de a decide si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo, y cuanto mayor es el valor absoluto de a, más estrecha es.
y = a(x − p)² + q es y = ax² desplazada p en la dirección del eje x y q en la del eje y, así que su vértice es (p, q) y su eje de simetría, x = p.
Una expresión desarrollada se puede llevar a esta forma completando el cuadrado, y entonces el vértice, el eje y el valor máximo o mínimo se leen directamente.
El papel de a en y = ax²
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La parábola y = ax² estrechándose, ensanchándose y dándose la vuelta al cambiar a, con y = x² para comparar
1
📊 Lo que decide a
①Si a > 0, la gráfica se abre hacia arriba.
②Si a < 0, se abre hacia abajo.
③Cuanto mayor es |a|, más estrecha es la parábola; cuanto menor, más ancha.
④Si a = 0, queda y = 0 y la función no es cuadrática.
Forma canónica y = a(x − p)² + q
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La parábola desplazándose al cambiar a, p y q, con su vértice, su eje y la forma desarrollada
1
2
-1
🎯 Traslaciones
①Al cambiar x por x − p en y = ax² se obtiene y = a(x − p)², la gráfica desplazada p en la dirección del eje x.
②y = ax² + q es la gráfica desplazada q en la dirección del eje y.
③El vértice de y = a(x − p)² + q es (p, q) y su eje, x = p.
④Cuidado con los signos: el vértice de y = (x − 2)² + 3 es (2, 3). Los valores iniciales a = 1, p = 2, q = −1 dan al desarrollar y = x² − 4x + 3, que también aparece abajo a la izquierda de la figura.
De la forma desarrollada a la canónica
Forma desarrollada
y = ax² + bx + c
En la forma desarrollada se lee directamente el corte con el eje y, c.
Paso a la forma canónica
y = a(x + b2a)² − b²−4ac4a
Se completa el cuadrado para hallar las coordenadas del vértice.
🔄 Cómo se transforma
①Se saca a factor común en la parte ax² + bx.
②Dentro del paréntesis se suma y se resta el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.
③Se escribe el cuadrado perfecto y se ordena la constante que queda.
④Así el vértice resulta (−b/2a, −(b² − 4ac)/4a).
Las propiedades de la gráfica juntas
Información que da la gráfica
vértice (p, q) · eje x = p · corte con el eje y en c · apertura según el signo de a
Todo lo que hay que saber de la gráfica está contenido en esta expresión.
💡 Propiedades de la gráfica
①El eje de simetría es x = p, la recta que pasa por el vértice.
②El corte con el eje y es c, el valor en x = 0.
③Los cortes con el eje x son las raíces de la ecuación que resulta de y = 0.
④El valor máximo o mínimo es la ordenada del vértice.
⑤Por la simetría respecto al eje, f(p + t) = f(p − t).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla las coordenadas del vértice de y=(x−2)²+3.
1
En la forma canónica y = a(x − p)² + q, el vértice es (p, q).
y = (x−2)²+3
2
p = 2 y q = 3, así que el vértice es (2, 3).
vértice (2, 3)
▸ (2, 3)
(x − 2) tiene la forma x − p, así que p = +2. Ojo con el signo.
Ejemplo 2
Escribe y=x²−4x+1 en forma del vértice y halla el vértice.
1
Se completa el cuadrado en x² − 4x: x² − 4x = (x − 2)² − 4.
y = (x−2)²−4+1
2
Simplificando, y = (x − 2)² − 3 y el vértice es (2, −3).
y = (x−2)²−3 ⇒ vértice (2, −3)
▸ y=(x−2)²−3, vértice (2, −3)
Se suma y se resta 4, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x (−2).
Puntos clave para el examen
Lo esencial de la función cuadrática
y = a(x − p)² + q → vértice (p, q), eje x = p
Casi todos los problemas de funciones cuadráticas empiezan pasando a la forma canónica.
Tipo examen 3.º ESO
¿Cuál es el eje de simetría de y=x²−6x+5?
①x=−3
②x=−6
③x=3
④x=5
⑤x=6
▸ ③ x=3
1
El eje es x = −b/(2a) con a=1, b=−6.
x = −(−6)/(2·1)
2
Calcula: x=3.
x = 6/2 = 3
🎯 Puntos de examen
①El signo de a indica si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
②Cuanto mayor es |a|, más estrecha es la gráfica.
③En y = a(x − p)² + q, (x − 2) significa p = +2; es un signo fácil de confundir.
④Conviene practicar el paso de la forma desarrollada a la canónica.
⑤Se aprovecha la simetría respecto al eje, f(p + t) = f(p − t).