Gráfica de la función cuadrática

Graphs of Quadratic Functions

La gráfica de una función cuadrática y = ax² + bx + c es una curva suave y simétrica llamada parábola. El dibujo usa los deslizadores a, p, q; la trayectoria de la pelota está en el capítulo de aplicaciones anterior. El signo de a decide si la curva abre hacia arriba o hacia abajo, y cuanto mayor es su valor absoluto, más estrecha se vuelve. Mueve a y el vértice p, q y la parábola se ensancha, se invierte y se desplaza.

y = ax² — papel de a

valor de a1

📊 Qué hace a

①a > 0: abre hacia arriba

②a < 0: abre hacia abajo

③|a| grande: estrecha; |a| pequeño: ancha

④a = 0 no es cuadrática

y = a(x − p)² + q (forma del vértice)

p (eje x)2

q (eje y)-1

🎯 Traslación

①y = ax² → y = a(x − p)²: traslada p en x

②y = ax² → y = ax² + q: traslada q en y

③Vértice (p, q); eje x = p

④Cuidado con los signos: y = a(x − 2)² + 3 → vértice (2, 3). Con a=1, p=2, q=−1 la forma general es y=x²−4x+3

General → vértice

Forma general

y = ax² + bx + c

forma desarrollada

Conversión a forma del vértice

y = a(x + b2a)² − b²−4ac4a

completa cuadrados

🔄 Pasos

①Saca a en x² + bx

②Suma y resta (b/2a)²

③Reagrupa

④Vértice: (−b/(2a), −(b² − 4ac)/(4a))

Propiedades

Información de la gráfica

vértice (p, q); eje x = p; ordenada c; dirección según signo de a

todo lo que necesitas saber

💡 Detalles

①Eje de simetría: x = p

②Ordenada: y(0) = c

③Cortes con x: raíces de la cuadrática

④Máximo/mínimo: y del vértice

⑤Simetría: f(p+t)=f(p−t)

Resuélvelo

Ejemplo 1

Halla las coordenadas del vértice de y=(x−2)²+3.

En la forma del vértice y=a(x−p)²+q, el vértice es (p, q).

y = (x−2)²+3

Aquí p=2, q=3, así que el vértice es (2, 3).

vértice (2, 3)

▸ (2, 3)

(x−2) es la forma x−p, así que p=+2. Cuidado con el signo.

Ejemplo 2

Escribe y=x²−4x+1 en forma del vértice y halla el vértice.

Completa cuadrados en x²−4x: x²−4x = (x−2)²−4.

y = (x−2)²−4+1

Entonces y=(x−2)²−3, y el vértice es (2, −3).

y = (x−2)²−3 ⇒ vértice (2, −3)

▸ y=(x−2)²−3, vértice (2, −3)

Suma y resta el cuadrado de la mitad del coeficiente de x: (−2)²=4.

Puntos clave

Esencia

y = a(x − p)² + q → vértice (p, q), eje x = p

punto de partida de todo

Tipo examen 3.º ESO

¿Cuál es el eje de simetría de y=x²−6x+5?

①x=−3

②x=−6

③x=3

④x=5

⑤x=6

▸ ③ x=3

El eje es x = −b/(2a) con a=1, b=−6.

x = −(−6)/(2·1)

Calcula: x=3.

x = 6/2 = 3

🎯 Puntos clave

①El signo de a marca la apertura

②|a| grande → más estrecha

③Cuidado con los signos en la forma del vértice

④Domina general ↔ vértice

⑤Usa la simetría f(p + t) = f(p − t)

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Aplicaciones de la ecuación cuadrática

Aplicaciones de la función cuadrática

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