Muchas situaciones reales se convierten en ecuaciones de segundo grado: la altura de una pelota lanzada en diagonal, el tamaño de un huerto con un área dada o dos números con un producto dado.
Una pelota lanzada vuela describiendo una parábola, así que al resolver la ecuación con la altura igual a 0 se sabe cuándo y dónde cae.
El método es siempre el mismo: se llama x a la cantidad buscada, se plantea una ecuación con las condiciones, se resuelve y, al final, se comprueba que la respuesta cumple las condiciones.
Una ecuación de segundo grado suele dar dos raíces, y si la cantidad no puede ser negativa, como una longitud o un número de objetos, hay que descartar la raíz negativa.
La parábola de una pelota lanzada
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La parábola de una pelota, su altura máxima y su alcance, según la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento
20 m/s
45°
🏀 Movimiento parabólico y ecuaciones de segundo grado
①Expresada en función de la distancia horizontal x, la altura y de la pelota es una expresión de segundo grado de la forma y = ax² + bx (a < 0).
②La pelota cae donde y = 0, así que el punto de caída se obtiene resolviendo ax² + bx = 0.
③El punto más alto es el vértice de la parábola.
④La figura usa g ≈ 10 m/s². Con los valores iniciales, 20 m/s y 45°, el alcance es de 40 m y la altura máxima de 10 m.
Plantear un problema de áreas
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El área de un rectángulo de 10 por 8 cuando su base y su altura aumentan x cada una
3
📐 Pasos para los problemas de áreas
①Se llama x a la longitud que se añade o se quita.
②Se escribe el área de la nueva figura en función de x; en la figura es (10 + x)(8 + x).
③Se plantea la ecuación con la condición del área: un área de 120 da x² + 18x − 40 = 0.
④Sale x = 2 o x = −20, pero una longitud debe ser positiva, así que la única respuesta es x = 2.
Problemas con números
Números naturales consecutivos
n(n + 1) = 90 → n² + n − 90 = 0
Si el menor de dos naturales consecutivos es n, los números son n y n + 1.
🔢 Problemas de números frecuentes
①Si el producto de dos naturales consecutivos es A, entonces n(n + 1) = A.
②Si se da el cuadrado de un número menos 3, se escribe x² − 3 = (ese valor).
③Un número de dos cifras con decenas a y unidades b se escribe 10a + b.
Cuatro pasos para los problemas
Orden de trabajo
elegir la incógnita → plantear la ecuación → resolverla → comprobar
Sea cual sea el tipo de problema, se sigue este orden.
⚠️ Por qué hay que comprobar
①Una ecuación de segundo grado puede tener dos raíces.
②Las raíces que no cumplen las condiciones del problema se descartan.
③En problemas de números naturales, longitudes o tiempos se descartan las raíces negativas.
④Se lleva la respuesta a la situación original para ver que encaja.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
El producto de dos números naturales consecutivos es 56. Halla los números.
1
Si el menor es n, entonces n(n + 1) = 56.
n(n+1)=56 ⇒ n²+n−56=0
2
Factorizando, (n − 7)(n + 8) = 0, y como n es natural, n = 7.
(n−7)(n+8)=0 ⇒ n=7
▸ 7 y 8
La condición de número natural descarta la raíz negativa n = −8.
Ejemplo 2
Para un número positivo x se cumple x(x+3)=40. Halla x.
1
Se desarrolla y se deja 0 en el segundo miembro.
x²+3x−40=0
2
(x − 5)(x + 8) = 0, y como x > 0, x = 5.
(x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5
▸ x = 5
La condición de ser positivo descarta x = −8.
Puntos clave para el examen
Cómo plantear cada tipo
números consecutivos: n, n + 1 · área: base × altura · altura de un objeto lanzado hacia arriba: h = v₀t − 5t²
Elegir bien la incógnita en cada tipo de problema es la mitad de la solución.
Tipo examen 3.º ESO
Un objeto se lanza desde el suelo; su altura tras t segundos es h=−5t²+20t (m). ¿A los cuántos segundos vuelve al suelo?
①1 s
②2 s
③4 s
④5 s
⑤8 s
▸ ③ 4 s
1
En el suelo, h=0.
−5t²+20t=0
2
De −5t(t−4)=0 con t>0, t=4.
−5t(t−4)=0 ⇒ t=4
🎯 Puntos de examen
①La incógnita es la cantidad que se busca.
②Tras plantear la ecuación, se deja 0 en el segundo miembro.
③Con las raíces calculadas, se comprueban condiciones como ser natural o positivo.
④La respuesta se escribe con sus unidades.
⑤Si aparece «mayor que» o «como máximo», se revisa de nuevo la condición.