Aplicaciones de la ecuación cuadrática

Applications of Quadratic Equations

Las aplicaciones llevan un lanzamiento o un terreno medido a una ecuación cuadrática. Una pelota lanzada en ángulo describe una parábola, y al poner la altura en cero sale el instante de caída. Eliges una incógnita, planteas la ecuación y resuelves, descartando la raíz que no cumpla, como una longitud negativa. Cambia la velocidad y el ángulo para ver la trayectoria y estira un rectángulo hacia su ecuación de área.

Tiro parabólico

velocidad inicial v₀20 m/s

ángulo45°

🏀 Tiro parabólico y cuadrática

①Una pelota describe una parábola: y = ax² + bx + c

②¿Cuándo cae? y = 0 → cuadrática

③Altura máxima: y del vértice. El lienzo usa g=10, velocidad 20, ángulo 45°. El resumen h=v₀t−5t² es un tiro vertical; el dibujo es oblicuo. El rectángulo empieza 10×8 con x=3

Problemas de áreas

x (incremento, misma unidad)3

📐 Estrategia

①Define la incógnita x

②Expresa el área en función de x

③Plantea la ecuación

④Resuelve y comprueba (positiva, válida...)

Problemas con números

Enteros consecutivos

n(n + 1) = 90 → n² + n − 90 = 0

enteros consecutivos: n y n + 1

🔢 Tipos

①Producto de dos enteros consecutivos = A → n(n + 1) = A

②"El cuadrado menos 3 es..." → x² − 3 = ...

③Producto de dígitos: (10a + b), ab = ...

Cuatro pasos

Procedimiento

definir incógnita → plantear → resolver → verificar

sigue siempre estos pasos

⚠️ Importancia de la verificación

①La cuadrática puede tener dos raíces

②Descarta las que no cumplen condiciones

③Si pide naturales, descarta negativas

④En longitudes, descarta negativos

⑤Sustituye en el problema original

Resuélvelo

Ejemplo 1

El producto de dos números naturales consecutivos es 56. Halla los números.

Llama n al menor; entonces n(n+1)=56.

n(n+1)=56 ⇒ n²+n−56=0

Factoriza: (n−7)(n+8)=0. Como n es natural, n=7.

(n−7)(n+8)=0 ⇒ n=7

▸ 7 y 8

La condición de natural descarta n=−8.

Ejemplo 2

Para un número positivo x se cumple x(x+3)=40. Halla x.

Desarrolla y pasa todo a un lado.

x²+3x−40=0

Factoriza: (x−5)(x+8)=0. Como x>0, x=5.

(x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5

▸ x = 5

La condición positiva descarta x=−8.

Puntos clave

Esencia

consecutivos: n, n+1; área: largo × ancho; tiempo: h = v₀t − 5t²

planteamiento según el tipo

Tipo examen 3.º ESO

Un objeto se lanza desde el suelo; su altura tras t segundos es h=−5t²+20t (m). ¿A los cuántos segundos vuelve al suelo?

①1 s

②2 s

③4 s

④5 s

⑤8 s

▸ ③ 4 s

En el suelo, h=0.

−5t²+20t=0

De −5t(t−4)=0 con t>0, t=4.

−5t(t−4)=0 ⇒ t=4

🎯 Puntos clave

①La incógnita es lo que pide el problema

②Lleva todo a un lado

③Comprueba el signo y unidad de la solución

④Cuidado con desigualdades como "más que"

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Resolver ecuaciones cuadráticas

Gráfica de la función cuadrática

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