Una ecuación de segundo grado es aquella en la que la mayor potencia de la incógnita x es 2; ordenada, toma la forma ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Igual que al calcular cuándo una pelota lanzada hacia arriba está a altura 0 se obtienen a la vez el instante del lanzamiento y el de la caída, una ecuación de segundo grado suele tener dos soluciones.
Si el primer miembro se puede factorizar, se resuelve sabiendo que el producto de dos factores lineales es 0; si no, completar el cuadrado o la fórmula general funcionan siempre.
En la gráfica, las soluciones son las abscisas de los puntos donde la parábola y = x² + bx + c corta al eje x, y el número de cortes lo decide el signo del discriminante D = b² − 4ac.
Las raíces están donde la parábola corta el eje x
seegongsik.com
Los puntos donde la parábola y = x² + bx + c corta al eje x, y el discriminante, al cambiar b y c
-2
-3
👀 Las raíces en la gráfica
①Si la parábola corta al eje x en dos puntos, hay dos raíces distintas (D > 0).
②Si lo toca en un solo punto, las dos raíces coinciden: es una raíz doble (D = 0).
③Si no lo corta, no hay raíces reales (D < 0).
④Con los valores iniciales b = −2, c = −3, D = 16 y las raíces son 3 y −1. Cuando D no es un cuadrado perfecto las raíces son irracionales, y su forma exacta aparece también arriba en la figura.
Resolver factorizando
Resolución por factorización
ax² + bx + c = 0 → a(x − p)(x − q) = 0 → x = p o x = q
Si un producto de dos números es 0, al menos uno de ellos es 0.
🧩 Pasos para resolver factorizando
①Se pasan todos los términos al primer miembro para que el segundo sea 0.
②Se factoriza el primer miembro.
③Se iguala cada factor a 0 y se halla x.
④Por ejemplo, x² − 5x + 6 = 0 da (x − 2)(x − 3) = 0, así que x = 2 o x = 3.
Completar el cuadrado y raíces cuadradas
Resolución con raíces cuadradas
(x + a)² = k (k ≥ 0) → x + a = ±√k → x = −a ± √k
Se convierte el primer miembro en un cuadrado perfecto y se toma la raíz cuadrada en ambos lados.
💡 Cómo completar el cuadrado
①En x² + 6x = 7 se suma a ambos lados 9, el cuadrado de la mitad del coeficiente 6: x² + 6x + 9 = 16.
②El primer miembro pasa a ser (x + 3)², así que (x + 3)² = 16.
③x + 3 = ±4.
④Por tanto, x = 1 o x = −7.
La fórmula general
Fórmula general
x = −b ± √(b²−4ac)2a
Es el resultado de completar el cuadrado con a, b y c generales, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
Discriminante
D = b² − 4ac
D > 0: dos raíces distintas; D = 0: una raíz doble; D < 0: ninguna raíz real.
⚠️ Cuidado al usar la fórmula
①Hay que ordenar siempre en la forma ax² + bx + c = 0 antes de leer a, b y c.
②En el −b del principio de la fórmula, el signo cambia si b es negativo.
③Se divide todo el numerador entre 2a; dividir solo una parte es un error.
④Si D < 0, la respuesta es que no hay raíces reales.
⑤Si a = 1 y b, c son enteros, un D cuadrado perfecto significa que las dos raíces son enteras.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Resuelve x² − 5x + 6 = 0.
1
Se factoriza el primer miembro: los dos números de producto 6 y suma −5 son −2 y −3.
x²−5x+6 = (x−2)(x−3)
2
Se iguala cada factor a 0.
(x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 o x=3
▸ x = 2 o x = 3
Cuando se puede factorizar, es el método más rápido.
Ejemplo 2
Resuelve x² − 4x + 1 = 0 con la fórmula general.
1
Se sustituyen a = 1, b = −4, c = 1 en la fórmula general.
x = (4±√(16−4))/2
2
√12 = 2√3, así que se simplifica 2 en numerador y denominador.
x = (4±2√3)/2 = 2±√3
▸ x = 2 ± √3
Si no se ve la factorización, se usa la fórmula y se simplifica antes la raíz.
Puntos clave para el examen
Tres formas de resolver una ecuación de segundo grado
factorizar → completar el cuadrado → fórmula general
Si la factorización se ve enseguida es el camino más rápido; si no, se usa la fórmula.
Tipo examen 3.º ESO
Si x² − 6x + k = 0 tiene raíz doble, ¿cuál es la constante k?
①3
②6
③9
④12
⑤36
▸ ③ 9
1
Una raíz doble significa discriminante D=0.
D = (−6)²−4·1·k = 36−4k
2
Resuelve 36−4k=0.
36−4k=0 ⇒ k=9
🎯 Puntos de examen
①Primero se intenta factorizar; si no sale, se usa la fórmula general.
②La condición para una raíz doble es D = b² − 4ac = 0.
③La suma de las raíces es −b/a y su producto, c/a.
④Si se piden raíces enteras, hay que ver si D es un cuadrado perfecto.
⑤Siempre se empieza dejando 0 en el segundo miembro.