Resolver ecuaciones cuadráticas

Solving Quadratic Equations

Una ecuación cuadrática tiene grado máximo 2 en x y se escribe ax² + bx + c = 0. Como hallar cuándo un objeto lanzado llega a altura cero, suele tener dos soluciones. Puedes factorizarla para que un producto de dos expresiones lineales sea cero o, si no factoriza, usar la fórmula general. Cambia los coeficientes para ver cómo cambian las dos raíces y cómo el discriminante decide su número.

Raíces = cortes con el eje x

b-2

c-3

👀 Desde la gráfica

①Dos cortes → dos raíces reales

②Un corte tangente → raíz doble

③Sin cortes → sin raíces reales

Factorización

a x² + b x + c = 0 → a(x − p)(x − q) = 0 → x = p o x = q

iguala cada factor a 0

🧩 Pasos

①Iguala a 0

②Factoriza

③Iguala cada factor a 0

④Ej.: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2, 3

Completar cuadrados y radicar

Tomar raíz

(x + a)² = k → x + a = ±√k → x = −a ± √k

tras completar cuadrados, saca raíz

💡 Completar cuadrados

①x² + 6x = 7 → x² + 6x + 9 = 16

②(x + 3)² = 16

③x + 3 = ±4

④x = 1 o x = −7

Fórmula general

Fórmula

x = −b ± √(b²−4ac)2a

Resuelve cualquier cuadrática

Discriminante

D = b² − 4ac

D > 0: 2 reales; D = 0: doble; D < 0: imaginarias

⚠️ Consejos

①Pon a forma ax² + bx + c = 0

②Cuidado con el signo de b

③Divide entre 2a, no entre 2

④D < 0 → "sin solución real"

Resuélvelo

Ejemplo 1

Resuelve x² − 5x + 6 = 0.

Factoriza el lado izquierdo: producto 6, suma −5 da −2 y −3.

x²−5x+6 = (x−2)(x−3)

Iguala cada factor a cero.

(x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 o x=3

▸ x = 2 o x = 3

Si factoriza, es el camino más rápido.

Ejemplo 2

Resuelve x² − 4x + 1 = 0 con la fórmula general.

Sustituye a=1, b=−4, c=1.

x = (4±√(16−4))/2

Como √12=2√3, simplifica.

x = (4±2√3)/2 = 2±√3

▸ x = 2 ± √3

Si no factoriza, usa la fórmula; simplifica primero dentro de la raíz.

Puntos clave

Tres caminos

factorización → completar cuadrados → fórmula

si no se factoriza, usa la fórmula

Tipo examen 3.º ESO

Si x² − 6x + k = 0 tiene raíz doble, ¿cuál es la constante k?

①3

②6

③9

④12

⑤36

▸ ③ 9

Una raíz doble significa discriminante D=0.

D = (−6)²−4·1·k = 36−4k

Resuelve 36−4k=0.

36−4k=0 ⇒ k=9

🎯 Puntos clave

①Intenta factorizar primero

②Raíz doble: D = 0

③Suma = −b/a, producto = c/a

④Raíces enteras ⇔ D es cuadrado perfecto

⑤Lleva todo a un lado e iguala a 0

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Factorización

Aplicaciones de la ecuación

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