Resolver ecuaciones cuadráticas

Solving Quadratic Equations

Una ecuación cuadrática tiene grado máximo 2 en x y se escribe ax² + bx + c = 0. Como hallar cuándo un objeto lanzado llega a altura cero, suele tener dos soluciones. Se factoriza para que un producto de dos expresiones lineales sea cero o, si no factoriza, se usa la fórmula general. Dejas a en 1 y solo cambias b y c: con b=−2, c=−3 tienes D=16 y raíces 3 y −1.

Raíces = cortes con el eje x

b-2

c-3

👀 Desde la gráfica

①Dos cortes → dos raíces reales

②Un corte tangente → raíz doble

③Sin cortes → sin raíces reales

Factorización

a x² + b x + c = 0 → a(x − p)(x − q) = 0 → x = p o x = q

iguala cada factor a 0

🧩 Pasos

①Iguala a 0

②Factoriza

③Iguala cada factor a 0

④Ej.: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2, 3

Completar cuadrados y radicar

Tomar raíz

(x + a)² = k → x + a = ±√k → x = −a ± √k

tras completar cuadrados, saca raíz

💡 Completar cuadrados

①x² + 6x = 7 → x² + 6x + 9 = 16

②(x + 3)² = 16

③x + 3 = ±4

④x = 1 o x = −7

Fórmula general

Fórmula

x = −b ± √(b²−4ac)2a

Resuelve cualquier cuadrática

Discriminante

D = b² − 4ac

D > 0: 2 reales; D = 0: doble; D < 0: imaginarias

⚠️ Consejos

①Pon a forma ax² + bx + c = 0

②Cuidado con el signo de b

③Divide entre 2a, no entre 2

④D < 0 → "sin solución real"

⑤Suma=−b/a, producto=c/a. Raíces enteras piden D cuadrado perfecto (por defecto D=16=4²)

Resuélvelo

Ejemplo 1

Resuelve x² − 5x + 6 = 0.

Factoriza el lado izquierdo: producto 6, suma −5 da −2 y −3.

x²−5x+6 = (x−2)(x−3)

Iguala cada factor a cero.

(x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 o x=3

▸ x = 2 o x = 3

Si factoriza, es el camino más rápido.

Ejemplo 2

Resuelve x² − 4x + 1 = 0 con la fórmula general.

Sustituye a=1, b=−4, c=1.

x = (4±√(16−4))/2

Como √12=2√3, simplifica.

x = (4±2√3)/2 = 2±√3

▸ x = 2 ± √3

Si no factoriza, usa la fórmula; simplifica primero dentro de la raíz.

Puntos clave

Tres caminos

factorización → completar cuadrados → fórmula

si no se factoriza, usa la fórmula

Tipo examen 3.º ESO

Si x² − 6x + k = 0 tiene raíz doble, ¿cuál es la constante k?

①3

②6

③9

④12

⑤36

▸ ③ 9

Una raíz doble significa discriminante D=0.

D = (−6)²−4·1·k = 36−4k

Resuelve 36−4k=0.

36−4k=0 ⇒ k=9

🎯 Puntos clave

①Intenta factorizar primero

②Raíz doble: D = 0

③Suma = −b/a, producto = c/a

④Raíces enteras ⇔ D es cuadrado perfecto

⑤Lleva todo a un lado e iguala a 0

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Factorización

Aplicaciones de la ecuación cuadrática

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