Factorizar es desarrollar al revés: reúne un polinomio desplegado en un producto de factores, como devolver una mezcla a sus ingredientes.
Así, x²+6x+9 vuelve a ser (x+3)².
Verás el cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados, y hallarás dos números cuyo producto y suma den la constante y el coeficiente central.
Mueve a, b y el término independiente para ver las piezas formar un cuadrado.
¿Qué es factorizar?
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Reagrupar un desarrollo en producto de factores
3
2
🔄 Desarrollar ↔ factorizar
①Desarrollar: (a+b)² → a²+2ab+b²
②Factorizar: a²+2ab+b² → (a+b)²
③Factorizar = identidades en sentido inverso
Identidades notables
Cuadrado perfecto
a² + 2ab + b² = (a + b)²
comprueba si el término medio es 2ab
Diferencia de cuadrados
a² − b² = (a + b)(a − b)
producto suma × diferencia
🔍 Cómo identificarlo
①Tres términos con extremos cuadrados → posible cuadrado perfecto
②Dos términos cuadrados restando → diferencia de cuadrados
③Término medio = 2 × √(primer) × √(último)
x² + (a + b)x + ab
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Busca pares con producto y suma dados
6
Buscar par
x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
producto = término independiente; suma = coeficiente del término en x
🧩 Estrategia
①Lista los pares de divisores
②Elige el que sume el coeficiente del medio
③No olvides los negativos
Factor común y sustitución
Factor común
ma + mb = m(a + b)
extrae el común antes de nada
📌 Orden
①Paso 1: factor común
②Paso 2: aplica identidades
③Paso 3: factoriza hasta agotar
④Ej.: 2x² + 4x + 2 = 2(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)²
Resuélvelo
Ejemplo 1
Factoriza x² + 6x + 9.
1
Comprueba que los extremos son cuadrados: x²=(x)², 9=3².
x²+6x+9 = x²+2·x·3+3²
2
El término medio 6x = 2·x·3, así que es cuadrado perfecto.
= (x+3)²
▸ (x + 3)²
Si el término medio es 2×(producto de las raíces de los extremos), es cuadrado perfecto.
Ejemplo 2
Factoriza x² − 7x + 12.
1
Busca dos números con producto 12 y suma −7: −3 y −4.
(−3)×(−4)=12, (−3)+(−4)=−7
2
Agrupa en la forma (x+p)(x+q).
= (x−3)(x−4)
▸ (x − 3)(x − 4)
Si el producto es positivo y la suma negativa, ambos números son negativos.
Puntos clave
Identidades
a² ± 2ab + b² = (a ± b)²; a² − b² = (a + b)(a − b)
desarrollo inverso = factorización
Tipo examen 3.º ESO
¿Cuál es la factorización correcta de x² − 25?
①(x+5)²
②(x−5)²
③(x+5)(x−5)
④(x+25)(x−1)
⑤5(x−5)
▸ ③ (x+5)(x−5)
1
Observa que x²−25 = x²−5² es diferencia de cuadrados.