Factorización

Factorization

Factorizar es desarrollar al revés: reúne un polinomio desplegado en un producto de factores, como devolver una mezcla a sus ingredientes. Así, x²+6x+9 vuelve a ser (x+3)². Salen el cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados, y dos números cuyo producto y suma dan la constante y el coeficiente central. Cambia a, b y el término independiente y las piezas forman un cuadrado.

¿Qué es factorizar?

🔄 Desarrollar ↔ factorizar

①Desarrollar: (a+b)² → a²+2ab+b²

②Factorizar: a²+2ab+b² → (a+b)²

③Factorizar = identidades en sentido inverso

Identidades notables

Cuadrado perfecto

a² + 2ab + b² = (a + b)²

comprueba si el término medio es 2ab

Diferencia de cuadrados

a² − b² = (a + b)(a − b)

producto suma × diferencia

🔍 Cómo identificarlo

①Tres términos con extremos cuadrados → posible cuadrado perfecto

②Dos términos cuadrados restando → diferencia de cuadrados

③Término medio = 2 × √(primer) × √(último)

x² + (a + b)x + ab

término independiente (pq)6

Buscar par

x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)

producto = término independiente; suma = coeficiente del término en x

🧩 Estrategia

①Lista los pares de divisores

②Elige el que sume el coeficiente del medio

③No olvides los negativos

Factor común

ma + mb = m(a + b)

extrae el común antes de nada

📌 Orden

①Paso 1: factor común

②Paso 2: aplica identidades

③Paso 3: factoriza hasta agotar

④Ej.: 2x² + 4x + 2 = 2(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)². Este ejemplo es solo texto. Los deslizadores a y b son positivos y no sacan el factor 2. Esta página no tiene sustitución

Resuélvelo

Ejemplo 1

Factoriza x² + 6x + 9.

Comprueba que los extremos son cuadrados: x²=(x)², 9=3².

x²+6x+9 = x²+2·x·3+3²

El término medio 6x = 2·x·3, así que es cuadrado perfecto.

= (x+3)²

▸ (x + 3)²

Si el término medio es 2×(producto de las raíces de los extremos), es cuadrado perfecto.

Ejemplo 2

Factoriza x² − 7x + 12.

Busca dos números con producto 12 y suma −7: −3 y −4.

(−3)×(−4)=12, (−3)+(−4)=−7

Agrupa en la forma (x+p)(x+q).

= (x−3)(x−4)

▸ (x − 3)(x − 4)

Si el producto es positivo y la suma negativa, ambos números son negativos.

Puntos clave

Identidades

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²; a² − b² = (a + b)(a − b)

desarrollo inverso = factorización

Tipo examen 3.º ESO

¿Cuál es la factorización correcta de x² − 25?

①(x+5)²

②(x−5)²

③(x+5)(x−5)

④(x+25)(x−1)

⑤5(x−5)

▸ ③ (x+5)(x−5)

Observa que x²−25 = x²−5² es diferencia de cuadrados.

x²−25 = x²−5²

Aplica a²−b²=(a+b)(a−b).

= (x+5)(x−5)

🎯 Puntos clave

①Saca primero el factor común

②Cuadrado perfecto: 2 × √extremos

③Diferencia de cuadrados: forma a² − b²

④Pares de divisores con la suma adecuada

⑤Comprueba desarrollando

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Multiplicación de polinomios e identidades

Resolver ecuaciones cuadráticas

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