Factorizar es tomar un polinomio escrito como suma y volver a agruparlo como producto de factores, es decir, recorrer el desarrollo al revés.
Igual que al desarrollar (x + 3)² se obtiene x² + 6x + 9, factorizar consiste en ver x² + 6x + 9 y reconocer (x + 3)².
En términos de área, las cuatro piezas a², ab, ab y b² encajan sin huecos en un cuadrado de lado a + b, y ese dibujo muestra directamente que a² + 2ab + b² = (a + b)².
Si además se aprende a buscar dos números cuyo producto sea el término independiente y cuya suma sea el coeficiente de x, se pueden factorizar casi todas las expresiones de segundo grado de este nivel.
Leer al revés una identidad notable
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Un dibujo de áreas en el que las cuatro piezas de a² + 2ab + b² encajan en un cuadrado de lado a + b
3
2
🔄 Desarrollar y factorizar
①Desarrollar convierte un producto en suma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
②Factorizar convierte una suma en producto: a² + 2ab + b² = (a + b)²
③Con a = 3 y b = 2 en la figura, las áreas 9 + 6 + 6 + 4 = 25 coinciden con el área 5² del cuadrado de lado 5.
Factorizar con las identidades notables
Cuadrado perfecto
a² + 2ab + b² = (a + b)²
comprueba si el término medio es 2ab
Suma por diferencia
a² − b² = (a + b)(a − b)
Una diferencia de cuadrados se factoriza como suma por diferencia.
🔍 Cómo elegir la identidad
①Si hay tres términos y los de los extremos son cuadrados, se sospecha un cuadrado perfecto.
②Entonces se comprueba que el término central sea 2 × (raíz del primero) × (raíz del tercero).
③Si hay dos términos, ambos cuadrados y unidos por una resta, se factoriza como suma por diferencia.
La forma x² + (p + q)x + pq
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Parejas de enteros p, q cuyo producto es el término independiente, su suma y la forma factorizada
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Buscar los dos números
x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
Se buscan dos números p, q cuyo producto sea el término independiente y cuya suma sea el coeficiente de x.
🧩 Pasos para buscar los dos números
①Se escriben todas las parejas cuyo producto es el término independiente, sin olvidar las negativas.
②Se elige la pareja cuya suma es el coeficiente de x.
③Si el producto es positivo y la suma negativa, los dos números son negativos; si el producto es negativo, tienen signos distintos.
Factor común
Sacar factor común
ma + mb = m(a + b)
Primero se saca el factor que aparece en todos los términos.
📌 Orden para factorizar
①Si hay factor común, se saca primero.
②A lo que queda se le aplica una identidad notable o la búsqueda de los dos números.
③Se repite hasta que no se pueda factorizar más.
④Por ejemplo, 2x² + 4x + 2 = 2(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)². El cuadrado perfecto solo aparece después de sacar el factor común 2.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Factoriza x² + 6x + 9.
1
Se mira si los extremos son cuadrados: x² es el cuadrado de x y 9 el de 3.
x²+6x+9 = x²+2·x·3+3²
2
El término central 6x es 2 · x · 3, así que es un cuadrado perfecto.
= (x+3)²
▸ (x + 3)²
Si el término central es 2 × (producto de las raíces de los extremos), la expresión es un cuadrado perfecto.
Ejemplo 2
Factoriza x² − 7x + 12.
1
Los dos números con producto 12 y suma −7 son −3 y −4.
(−3)×(−4)=12, (−3)+(−4)=−7
2
Se ponen p = −3 y q = −4 en la forma (x + p)(x + q).
= (x−3)(x−4)
▸ (x − 3)(x − 4)
Si el producto es positivo y la suma negativa, los dos números son negativos.
Puntos clave para el examen
Fórmulas de factorización
a² ± 2ab + b² = (a ± b)², a² − b² = (a + b)(a − b)
Las fórmulas de factorización son las identidades notables leídas al revés.
Tipo examen 3.º ESO
¿Cuál es la factorización correcta de x² − 25?
①(x+5)²
②(x−5)²
③(x+5)(x−5)
④(x+25)(x−1)
⑤5(x−5)
▸ ③ (x+5)(x−5)
1
Observa que x²−25 = x²−5² es diferencia de cuadrados.
x²−25 = x²−5²
2
Aplica a²−b²=(a+b)(a−b).
= (x+5)(x−5)
🎯 Puntos de examen
①No olvidar sacar primero el factor común.
②Un cuadrado perfecto se reconoce comprobando que el término central es 2 × (producto de las raíces de los extremos).
③Dos cuadrados unidos por una resta se factorizan directamente como suma por diferencia.
④En x² + (p + q)x + pq, los dos números se buscan por su producto y su suma.
⑤Se comprueba el resultado desarrollándolo para ver que vuelve la expresión original.