Para multiplicar polinomios basta la propiedad distributiva, pero algunas formas frecuentes se hacen mucho más rápido si se recuerdan como identidades notables.
Al dividir un cuadrado de lado a + b en las cuatro piezas a², ab, ab y b², la igualdad (a + b)² = a² + 2ab + b² se ve directamente como área.
Cambiando el signo se obtiene (a − b)², donde solo el término central pasa a ser −2ab, y en el producto de una suma por una diferencia, (a + b)(a − b), los términos centrales se anulan y solo queda a² − b².
Estas identidades convierten cálculos como 101² o 51 × 49 en cálculo mental, y en el tema siguiente se usan al revés para factorizar.
(a + b)² como área
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Un cuadrado de lado a + b dividido en las cuatro piezas a², ab, ab y b²
3
2
📐 Lo que muestra el dibujo de áreas
①El área de un cuadrado de lado a + b es (a + b)².
②Ese cuadrado se divide en cuatro piezas: a², ab, ab y b².
③Por tanto, (a + b)² = a² + 2ab + b².
④Si se escribe (a + b)² como a² + b², faltan las dos piezas ab. Con a = 3 y b = 2 en la figura, 25 y 13 se diferencian en 12.
El cuadrado de una diferencia (a − b)²
Cuadrado de una suma
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Se suman los cuadrados de los dos números y el doble de su producto.
Cuadrado de una diferencia
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Solo cambia el signo del término central.
💡 Cómo acertar con los signos
①El término central de (a + b)² es +2ab.
②El término central de (a − b)² es −2ab.
③Los extremos a² y b² son cuadrados, así que siempre llevan signo +.
④(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab es otra fórmula de desarrollo que se usa junto a ellas.
Suma por diferencia (a + b)(a − b)
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La L que queda al quitar b² a un cuadrado de lado a, cortada y recolocada como un rectángulo de base a + b y altura a − b
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2
Suma por diferencia
(a + b)(a − b) = a² − b²
Al desarrollar, +ab y −ab se anulan.
Usar las identidades notables
Cálculo mental
101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201
Descomponiendo un número en partes cómodas y usando una identidad, los productos grandes se hacen de cabeza.
🧮 Ejemplos
①99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
②51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499.
③(√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3: con raíces las identidades funcionan igual.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Desarrolla (x + 3)².
1
Se pone a = x y b = 3 en el cuadrado de una suma (a + b)² = a² + 2ab + b².
(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²
2
Se calcula cada término y se simplifica.
= x² + 6x + 9
▸ x² + 6x + 9
No hay que olvidar el término central 2ab de un cuadrado perfecto.
Ejemplo 2
Desarrolla (x + 2)(x − 5).
1
Se pone a = 2 y b = −5 en (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.
x² + (2 + (−5))x + 2·(−5)
2
Se calculan la suma 2 + (−5) = −3 y el producto 2 × (−5) = −10.
= x² − 3x − 10
▸ x² − 3x − 10
El coeficiente de x es la suma de los dos números y el término independiente, su producto.
Puntos clave para el examen
Identidades notables
(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a + b)(a − b) = a² − b²
Estas identidades son la base de la factorización y de las ecuaciones de segundo grado.
Tipo de examen escolar de 3.º ESO
Desarrolla (x + 4)(x − 4).
①x² − 8
②x² + 16
③x² − 16
④x² − 8x − 16
⑤x² − 16x
▸ ③ x² − 16
1
Usa el producto suma por diferencia (a + b)(a − b) = a² − b².
(x + 4)(x − 4) = x² − 4²
2
Calcula.
= x² − 16
🎯 Puntos de examen
①(a + b)² no es a² + b²; no hay que olvidar 2ab.
②La suma por diferencia aparece todavía más al revés, al factorizar.
③Las identidades se aplican igual con raíces o fracciones.
④Hay que dominar también (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.
⑤La respuesta solo está terminada cuando se han reducido los términos semejantes.