Multiplicación de polinomios e identidades

Polynomial Multiplication & Formulas

Un producto de aspecto complicado se aclara al imaginarlo como un área. Divide un cuadrado de lado a+b en cuatro piezas y salen a², ab, ab y b², así que (a+b)² = a² + 2ab + b² aparece por sí solo. Cambia un signo y tienes (a−b)², y la suma por diferencia (a+b)(a−b) pierde el término central y deja solo a² − b². Aquí mueves a y b para ver cómo se reparte el área y por qué vale cada identidad, y luego las usas en cuentas como 101² o 51×49.

(a + b)² visto como área

📐 Modelo de áreas

①Cuadrado de lado a + b: área (a + b)²

②Divídelo: a² + ab + ab + b²

③(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)²

Cuadrado de la suma

(a + b)² = a² + 2ab + b²

cuadrado de la suma = suma de cuadrados + 2ab

Cuadrado de la diferencia

(a − b)² = a² − 2ab + b²

solo cambia el signo del término medio

💡 Signos

①(a + b)²: medio +2ab

②(a − b)²: medio −2ab

③Los extremos siempre positivos

(a + b)(a − b) = a² − b²

Suma por diferencia

(a + b)(a − b) = a² − b²

suma × diferencia = diferencia de cuadrados

Aplicaciones

Trucos numéricos

101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201

simplifica cálculos con identidades

🧮 Ejemplos

①99² = (100 − 1)² = 9801

②51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2499

③(√3 + 1)² = 4 + 2√3

Resuélvelo

Ejemplo 1

Desarrolla (x + 3)².

Usa el cuadrado perfecto (a + b)² = a² + 2ab + b².

(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²

Simplifica.

= x² + 6x + 9

▸ x² + 6x + 9

No olvides el término central 2ab de un cuadrado perfecto.

Ejemplo 2

Desarrolla (x + 2)(x − 5).

Usa (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab con a = 2, b = −5.

x² + (2 + (−5))x + 2·(−5)

Simplifica.

= x² − 3x − 10

▸ x² − 3x − 10

El coeficiente lineal es la suma y el término independiente el producto.

Puntos clave

Tres identidades

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²; (a + b)(a − b) = a² − b²

base de la factorización y de la cuadrática

Tipo de examen escolar de 3.º ESO

Desarrolla (x + 4)(x − 4).

①x² − 8

②x² + 16

③x² − 16

④x² − 8x − 16

⑤x² − 16x

▸ ③ x² − 16

Usa el producto suma por diferencia (a + b)(a − b) = a² − b².

(x + 4)(x − 4) = x² − 4²

Calcula.

= x² − 16

🎯 Puntos clave

①(a + b)² ≠ a² + b²; no olvides 2ab

②La diferencia de cuadrados se usa mucho al revés

③Funciona también con raíces y fracciones

④Memoriza (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

⑤Tras desarrollar, simplifica términos semejantes

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Factorización

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