Los números con raíces también siguen reglas fijas que permiten escribirlos de forma más sencilla.
Al descomponer el radicando, como en √12 = √(2 × 2 × 3), aparece una pareja de doses, y esa pareja sale de la raíz como un solo 2: queda 2√3.
Los términos con la misma raíz, como 2√3 y 5√3, se suman como términos semejantes sumando sus coeficientes y dan 7√3, mientras que el producto y el cociente se hacen con los radicandos.
Si queda una raíz en el denominador, se multiplican numerador y denominador por esa raíz para que el denominador sea racional; esto se llama racionalizar el denominador.
Simplificar descomponiendo el radicando
seegongsik.com
La descomposición del radicando n en factores primos y la salida de los factores emparejados
12
🔧 Por qué funciona la simplificación
①Un producto de dos números iguales a² sale de la raíz como a: √(a² × b) = a√b
②√12 = √(2² × 3) = 2√3.
③√48 = √(4² × 3) = 4√3.
④Si solo quedan factores primos sin pareja, ya no se puede simplificar; en la figura, n = 30 es 2 × 3 × 5, sin ninguna pareja.
Sumar y restar solo raíces iguales
seegongsik.com
Dos barras medidas en tramos de longitud √2 unidas una tras otra, de modo que se suman los coeficientes
3
2
📏 La clave de la suma
①Solo se pueden sumar o restar los coeficientes cuando las raíces son iguales, como con los términos semejantes.
②2√3 + 5√3 = 7√3.
③2√3 + 5√2 no se puede simplificar, porque las raíces son distintas.
④Raíces que parecen distintas a veces se igualan al simplificar: √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
Producto y cociente de raíces
Producto
√a × √b = √(ab) (a > 0, b > 0)
Al multiplicar raíces se multiplican los radicandos.
Cociente
√a√b = √(ab)
Al dividir raíces se dividen los radicandos.
💡 Cuidado con el producto y el cociente
①√2 × √3 = √6.
②√6 ÷ √2 = √3.
③(2√3)² = 2² × (√3)² = 4 × 3 = 12: el coeficiente también se eleva al cuadrado.
④A diferencia del producto, la suma no junta los radicandos: √a + √b ≠ √(a + b)
Racionalizar el denominador
Racionalización del denominador
a√b = a√bb
Se multiplican numerador y denominador por √b para quitar la raíz del denominador.
🧹 Por qué racionalizar
①Con una raíz en el denominador cuesta comparar valores o estimarlos.
②Al multiplicar numerador y denominador por la misma raíz, el denominador se vuelve racional, porque (√b)² = b.
③Por ejemplo, 1/√2 = √2/2 ≈ 0,707.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Calcula √2 × √8.
1
Al multiplicar raíces se multiplican los radicandos.
√2 × √8 = √(2 × 8) = √16
2
16 es el cuadrado de 4, así que √16 = 4.
= 4
▸ 4
Si el producto de los radicandos es un cuadrado perfecto, la raíz desaparece.
Ejemplo 2
Calcula 2√3 + 5√3.
1
Las raíces son iguales, así que se suman los coeficientes.
(2 + 5)√3
2
2 + 5 = 7.
= 7√3
▸ 7√3
Las raíces tienen que ser iguales para sumarlas como términos semejantes.
Puntos clave para el examen
Cálculo con raíces
a√m ± b√m = (a ± b)√m
Solo se suman o restan los coeficientes de términos con la misma raíz.