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3° Secundaria (14-15 años)

Raíces cuadradas y números reales

Square Roots & Real Numbers

La raíz cuadrada deshace el cuadrado: busca qué número elevado al cuadrado da n. Como el lado de un cuadrado de área 2, hay longitudes que nunca son el cuadrado de un natural y aun así existen. Esos números que no se escriben como fracción son irracionales, y con los racionales forman los reales que llenan la recta sin huecos. Aquí cambias el área de un cuadrado y ves dónde cae su lado en la recta numérica.

¿Qué es una raíz cuadrada?
2
👀 Intuición de la raíz cuadrada
①Una raíz cuadrada es 'un número cuyo cuadrado es n'
②√4 = 2 (2² = 4), √9 = 3 (3² = 9) — esos son cuadrados perfectos
③√2, √3 no son exactos → números irracionales
Racionales e irracionales
1
🔍 Estructura de los números reales
①Racional: se puede expresar como fracción (enteros, decimales finitos, periódicos)
②Irracional: no es fracción (√2, π — decimales infinitos no periódicos)
③Reales = racionales + irracionales → llenan la recta numérica sin huecos
Propiedades de las raíces cuadradas
Definición
Si a ≥ 0, x² = a → x = ±√a
Un número positivo tiene dos raíces cuadradas: ±√a
Propiedades
(√a)² = a, √(a²) = |a|
La raíz al cuadrado vuelve a a; la raíz de un cuadrado es el valor absoluto
⚠️ Cuidado
①√9 = 3 (¡solo la raíz positiva!)
②Las raíces cuadradas de 9 son ±3 (dos)
③√(−4) no existe en los reales
Comparación de raíces
Orden
Si a > b ≥ 0, entonces √a > √b
En los positivos la raíz es función creciente
💡 Trucos para comparar
①√5 vs 2 → √5 vs √4 → 5 > 4, así √5 > 2
②3 vs √10 → √9 vs √10 → 9 < 10, así 3 < √10
③¡Basta comparar los radicandos!
Resuélvelo
Ejemplo 1
Halla el valor de √64.
1
Escribe 64 como un cuadrado.
64 = 8²
2
√(8²) = 8.
√64 = 8
8
La raíz cuadrada es el número no negativo cuyo cuadrado es el dado.
Ejemplo 2
Compara 3 y √8.
1
Escribe 3 con radical: 3 = √9.
3 = √9
2
Como 9 > 8, √9 > √8.
√9 > √8 ⇒ 3 > √8
3 > √8
Entre positivos, mayor radicando significa mayor raíz.
Puntos clave de examen
Clasificación de los reales
Reales = racionales (enteros + decimales finitos/periódicos) + irracionales
Cada punto de la recta numérica es un número real
Tipo de examen escolar de 3.º ESO
¿Cuál es la parte entera de √10 (el mayor entero menor que √10)?
2
3
4
9
10
② 3
1
Sitúa √10 entre raíces consecutivas: √9 < √10 < √16.
√9 < √10 < √16 ⇒ 3 < √10 < 4
2
La parte entera es 3.
parte entera de √10 = 3
🎯 Puntos de examen
①En √a debe ser a ≥ 0 (radicando no negativo)
②√(a²) = |a|, no a
③Test de cuadrado perfecto: factorización en primos con todos los exponentes pares
④Ejemplos de irracionales: √2, √3, π, … (decimales infinitos no periódicos)
⑤Punto de la recta = número real (correspondencia 1:1)
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Operaciones con radicales
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