Hallar una raíz cuadrada es buscar al revés el número cuyo cuadrado da un número dado: como 3² = 9, tanto 3 como −3 son raíces cuadradas de 9, y el símbolo √9 indica la positiva, 3.
Algunas longitudes, como el lado de un cuadrado de área 2, existen de verdad, y sin embargo ningún número entero ni fracción al cuadrado las da exactamente.
Los números así, que no se pueden escribir como fracción, son irracionales, y los números reales, racionales e irracionales juntos, llenan la recta numérica sin dejar huecos.
Al cambiar n en la figura se ve dónde queda √n en la recta y entre qué dos números naturales cae.
Qué es una raíz cuadrada
Para dar con un número el lado de un cuadrado del que solo se conoce el área, hace falta una operación que deshaga el cuadrado. Con un área de 4 el lado es 2 al instante, pero con un área de 2 ningún entero ni fracción al cuadrado da 2. Por eso esa longitud recibe un símbolo nuevo, √2, y a los números como él, que no se pueden escribir como fracción, se los llama irracionales. Solo con los racionales la recta numérica queda con huecos; los números reales, con los irracionales incluidos, los llenan, y así cada punto de la recta corresponde a un único número real.
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La posición de √n en la recta al cambiar n, su valor aproximado y la desigualdad entre cuadrados consecutivos
La primera figura marca √n con un punto en una recta numérica de 0 a 4, con su valor aproximado encima y (√n)² = n arriba del todo. Para n de 2 en adelante, un triángulo rectángulo de líneas discontinuas con catetos 1 y √(n − 1) muestra que su hipotenusa es √n; es un esquema con la altura reducida. Abajo se indica si n es un cuadrado perfecto o, si no, una desigualdad que sitúa √n entre dos naturales consecutivos. La segunda figura amplía la zona cerca de √2: cuanto más se amplía, más densos se ven los puntos racionales, y aun así ninguno llega a caer en √2.
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👀 Significado de la raíz cuadrada
①Un número cuyo cuadrado es n es una raíz cuadrada de n. Un n positivo tiene dos raíces de signos opuestos, y el símbolo √n indica la positiva.
②Números como 4 y 9, cuyas raíces √4 = 2 y √9 = 3 son enteras, son cuadrados perfectos.
③Las raíces que no son exactas, como √2 y √3, son irracionales.
④Un número es cuadrado perfecto exactamente cuando todos los exponentes de su descomposición en factores primos son pares.
Números racionales e irracionales
Es fácil pensar que la raíz de un número que no es cuadrado perfecto no tiene valor, pero √2 es un punto concreto de la recta; simplemente no se puede escribir como fracción ni como decimal exacto. Además, el símbolo √a indica solo la raíz de a que es 0 o mayor, así que las raíces cuadradas de 9 son ±3 mientras que √9 es solo 3. Ningún número real al cuadrado es negativo, por lo que √(−4) no está definida en los reales. Recordar que √(a²) es |a| y no a evita también muchos errores de signo.
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Puntos racionales cada vez más densos al ampliar cerca de √2, y √2 entre ellos
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🔍 Cómo se forman los números reales
①Los racionales se pueden escribir como fracción; los enteros, los decimales exactos y los periódicos están todos aquí.
②Los irracionales no se pueden escribir como fracción; como √2 y π, son decimales infinitos no periódicos.
③Los números reales, racionales e irracionales juntos, llenan la recta numérica sin huecos.
Propiedades de las raíces cuadradas
Definición
si a ≥ 0, x² = a → x = ±√a
Un número positivo a tiene dos raíces cuadradas, √a y −√a.
Propiedades
(√a)² = a, √(a²) = |a|
Al elevar al cuadrado una raíz se recupera el número, y la raíz de un cuadrado es el valor absoluto.
⚠️ Cuidado
①√9 = 3: el símbolo √ indica solo la raíz positiva.
②9 tiene dos raíces cuadradas, 3 y −3.
③√(−4) no está definida en los números reales.
Comparar raíces cuadradas
Comparar tamaños
si a > b ≥ 0, entonces √a > √b
Para números iguales o mayores que 0, cuanto mayor es el radicando, mayor es la raíz.
💡 Cómo comparar
①Para comparar √5 y 2 se escribe 2 = √4; como 5 > 4, √5 > 2.
②Para comparar 3 y √10 se escribe 3 = √9; como 9 < 10, 3 < √10.
③Con números positivos, basta meterlo todo dentro de una raíz y comparar los radicandos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla el valor de √64.
1
Se escribe 64 como el cuadrado de un número.
64 = 8²
2
8² = 64 y 8 es positivo, así que √64 = 8.
√64 = 8
▸ 8
√a es el número mayor o igual que 0 cuyo cuadrado es a.
Ejemplo 2
Compara 3 y √8.
1
Se mete 3 dentro de una raíz: 3 = √9.
3 = √9
2
9 > 8, así que √9 > √8.
√9 > √8 ⇒ 3 > √8
▸ 3 > √8
Con números positivos, cuanto mayor es el radicando, mayor es el número.
Puntos clave para el examen
Clasificación de los números reales
reales = racionales (enteros, decimales exactos y periódicos) + irracionales
Cada punto de la recta numérica corresponde a un único número real.
Tipo de examen escolar de 3.º ESO
¿Cuál es la parte entera de √10 (el mayor entero menor que √10)?
①2
②3
③4
④9
⑤10
▸ ② 3
1
Sitúa √10 entre raíces consecutivas: √9 < √10 < √16.
√9 < √10 < √16 ⇒ 3 < √10 < 4
2
La parte entera es 3.
parte entera de √10 = 3
🎯 Puntos de examen
①En √a, a debe ser 0 o mayor.
②√(a²) es |a|, no a.
③Un cuadrado perfecto tiene todos los exponentes pares en su descomposición en factores primos.
④√2, √3 y π son irracionales: decimales infinitos no periódicos.
⑤Los puntos de la recta y los números reales se corresponden uno a uno.