La probabilidad expresa con un número entre 0 y 1 lo posible que es que algo ocurra.
Un dado puede caer en cualquiera de las seis caras, del 1 al 6, con la misma facilidad, así que al dividir entre 6 el número de resultados que interesan se obtiene la probabilidad.
Por eso el punto de partida de la probabilidad es contar los casos sin olvidar ni repetir ninguno, y el diagrama de árbol es la herramienta más fiable para hacerlo.
Cada lanzamiento más de una moneda divide en dos cada rama del árbol, así que el número de casos se duplica cada vez: es el principio de la multiplicación.
Todos los casos posibles
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Las caras de un dado que son menores o iguales que n, y su probabilidad
3
👀 Qué es la probabilidad
①Al lanzar un dado sale una de las seis caras del 1 al 6, y todas son igual de probables.
②Las caras menores o iguales que 3 son 1, 2 y 3: tres casos.
③La probabilidad es el número de casos favorables dividido entre el de casos posibles, así que vale 3/6 = 1/2. Al cambiar n en la figura cambian a la vez los dados coloreados y la longitud de la barra.
Contar casos con un diagrama de árbol
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Un diagrama de árbol que se ramifica en cada lanzamiento de moneda, con el resultado escrito en cada rama final
2
Principio de la suma
dos sucesos A, B que no pueden ocurrir a la vez → casos de A o B = m + n
Si los dos sucesos pueden ocurrir a la vez, hay que restar una vez los casos comunes.
Principio de la multiplicación
A de m maneras y, para cada una, B de n maneras → casos de A seguido de B = m × n
En un diagrama de árbol, el número de ramas se multiplica en cada nivel.
Propiedades básicas de la probabilidad
Qué significa la probabilidad
P(A) = casos favorablescasos totales
Se usa cuando todos los resultados son igual de probables; su valor cumple 0 ≤ P(A) ≤ 1.
💡 El rango de la probabilidad
①Un suceso seguro tiene probabilidad 1, como sacar 6 o menos en un dado.
②Un suceso imposible tiene probabilidad 0, como sacar un 7.
③Por eso la probabilidad de cualquier suceso está entre 0 y 1, ambos incluidos.
④La probabilidad de que ocurra A más la de que no ocurra suman 1.
Calcular con el suceso contrario
Probabilidad del suceso contrario
P(Ac) = 1 - P(A)
probabilidad de que no ocurra A = 1 − (probabilidad de que ocurra A)
📝 Si aparece «al menos», piensa en el contrario
①Se busca la probabilidad de sacar al menos una cara al lanzar dos monedas (C = cara, X = cruz).
②Se pueden contar CC, CX y XC uno a uno, pero el contrario, «todo cruz», es solo XX y es mucho más fácil de contar.
③P(al menos una cara) = 1 − P(todo cruz) = 1 − 1/4 = 3/4. La rama final escrita en rojo en el árbol es justo este suceso contrario.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Al lanzar un dado, ¿cuántos resultados son pares o múltiplos de 3?
1
Pares es {2, 4, 6} (3), múltiplos de 3 es {3, 6} (2), y el solape (6) es 1.
3 + 2 − 1
2
Resta el solape una vez.
= 4 resultados
▸ 4 resultados
Si se solapan, se cuenta con n(A)+n(B)−n(A∩B), no con la suma exclusiva.
Ejemplo 2
Al lanzar un dado, halla la probabilidad de un número primo.