Cuando varias rectas paralelas cortan a dos rectas, la razón entre los segmentos de una de ellas aparece, exactamente igual, en la otra.
Las longitudes en sí cambian de una recta a otra, pero las paralelas trasladan la razón sin alterarla.
Dentro de un triángulo, un segmento paralelo a un lado divide los otros dos en la misma razón, y el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercero y mide exactamente la mitad.
En la primera figura las longitudes a, b, c y d son todas distintas y aun así a : b y c : d se mueven siempre juntas.
Las paralelas trasladan una razón
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Las longitudes a, b, c, d de los segmentos que tres paralelas cortan en dos rectas, y sus razones
2
👀 Paralelas y razón entre segmentos
①Cuando tres rectas paralelas ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃ cortan a dos rectas, determinan los segmentos a y b en una y c y d en la otra.
②Como las dos rectas tienen distinta inclinación, a y c, y b y d, miden distinto.
③Aun así, siempre se cumple a : b = c : d. Al cambiar la razón en la figura cambian las cuatro longitudes, pero las dos razones se mueven juntas.
Una paralela dentro de un triángulo
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Cómo divide a los otros dos lados del triángulo ABC un segmento DE paralelo a BC
0.5
Triángulos y paralelas
DE ∥ BC → AD : AB = AE : AC = DE : BC
Un segmento paralelo a un lado divide a los otros dos en la misma razón, porque △ADE y △ABC son semejantes.
Teorema de la paralela media
Teorema de la paralela media
D, E puntos medios → DE ∥ BC, DE = 12BC
El segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y mide la mitad que él.
💡 Cómo leer el teorema
①Si D y E son los puntos medios de AB y AC, entonces AD : AB = AE : AC = 1 : 2.
②Por tanto △ADE es △ABC reducido a la mitad, y DE ∥ BC.
③Con razón de semejanza 1 : 2, DE = BC/2. Si en la figura de arriba se pone el valor en 0,5, aparecen marcas de igual longitud en los cuatro tramos y se ve esta relación.
Aplicaciones de paralelas y razones
📝 Tres usos frecuentes
①En un trapecio con una recta paralela a las bases, se plantea una proporción a partir de las paralelas.
②Con una paralela dentro de un triángulo, la razón de semejanza da la longitud de un lado desconocido.
③Si se dan dos puntos medios, el teorema de la paralela media da una longitud como el doble o la mitad de otra.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
En △ABC, DE ∥ BC con AD = 3, DB = 6, AE = 4. Halla EC.
1
La paralela divide dos lados del triángulo, así que AD : DB = AE : EC.
3 : 6 = 4 : EC
2
En una proporción, el producto de medios es igual al producto de extremos.
3 × EC = 24 ⇒ EC = 8
▸ EC = 8
En un triángulo, una recta paralela a un lado divide a los otros dos en la misma razón.
Ejemplo 2
Tres paralelas cortan una transversal en razón 1 : 2. En otra las partes son 3 y x. Halla x.
1
Las paralelas dividen las dos rectas en la misma razón.
1 : 2 = 3 : x
2
En una proporción, el producto de medios es igual al producto de extremos.
1 × x = 2 × 3 ⇒ x = 6
▸ x = 6
La razón de los segmentos que forman las paralelas es la misma se mida sobre la recta que se mida.
Puntos clave para el examen
Paralelas y razón entre segmentos
ℓ₁ ∥ ℓ₂ ∥ ℓ₃ → a : b = c : d
Las paralelas trasladan razones, no longitudes. Esa frase recorre todo el tema.
Tipo de examen escolar de 2.º ESO
En △ABC, M y N son los puntos medios de AB y AC. Si BC = 10, ¿cuánto mide MN?
①4
②5
③6
④8
⑤10
▸ ② 5
1
Por el teorema de la paralela media, MN es paralelo a BC y mide la mitad.
MN = (1/2) × BC
2
Se sustituye BC = 10.
= (1/2) × 10 = 5
🎯 Puntos de examen
①Si tres paralelas cortan a dos rectas, los segmentos correspondientes están en la misma razón.
②En un triángulo, si DE ∥ BC, entonces AD : DB = AE : EC.
③El teorema de la paralela media es el más preguntado: unir dos puntos medios da un segmento paralelo y de la mitad de longitud.
④Una proporción se resuelve con el producto de medios igual al producto de extremos (a : b = c : d → ad = bc).
⑤Cuidado con el recíproco. En un triángulo, un segmento que divide dos lados en la misma razón es paralelo al tercero, pero tres rectas que cortan a dos rectas en la misma razón no tienen por qué ser paralelas.