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2° Secundaria (13-14 años)

Semejanza

Similarity of Figures

La semejanza relaciona dos figuras con la misma forma pero distinto tamaño. Como al ampliar una foto no cambian las proporciones, las figuras semejantes guardan una razón constante entre sus lados y ángulos iguales. Esa razón se llama razón de semejanza; la de áreas es su cuadrado y la de volúmenes su cubo. Aquí puedes cambiar el tamaño y ver cómo varían los lados y el área.

Intuición — como ampliar una foto
1.5
📱 La foto explica la semejanza
①Al ampliar la foto cambia el tamaño pero no la forma
②Eso es semejanza
③Condiciones: ángulos correspondientes iguales
④Lados correspondientes en la misma razón
⑤El factor de ampliación es la razón
Semejanza AA
50°
70°
Tres criterios
AA, LAL, LLL
el AA es el más usado en exámenes
💡 Detalles
①AA: dos pares de ángulos iguales → semejanza
②LAL: dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos
③LLL: los tres lados proporcionales
④En la práctica el 90 % son AA
Razón de semejanza, áreas y volúmenes
Áreas
razón m:n → área m²:n²
el área es bidimensional, así que la razón se eleva al cuadrado
Volúmenes
razón m:n → volumen m³:n³
el volumen es tridimensional, al cubo
📝 ¿Por qué cuadrado y cubo?
①Un cuadrado con lado doble tiene área cuádruple
②Un cubo con lado doble tiene volumen óctuple
③Área = lado × lado; volumen = lado × lado × lado
④Razón 1:2 → áreas 1:4, volúmenes 1:8
Aplicaciones
🌳 Calcular la altura de un árbol con sombras
①Tu sombra y la del árbol al mismo tiempo
②Como la luz solar es paralela, los triángulos son semejantes
③Tu altura : tu sombra = altura del árbol : su sombra
④Plantea la proporción y resuelve
🗺️ Escalas en mapas
①Escala 1:50 000 = razón 1:50 000
②2 cm en el mapa = 2 × 50 000 = 1 km
③Maqueta 10 cm con escala 1:100 → 10 m reales
Resuélvelo
Ejemplo 1
Dos triángulos semejantes tienen razón 2 : 3. Un lado del menor mide 4. Halla el lado correspondiente del mayor.
1
La razón de lados correspondientes es la razón de semejanza.
2 : 3 = 4 : x
2
Resuelve la proporción.
2x = 12 ⇒ x = 6
▸ 6
Los lados correspondientes de figuras semejantes guardan razón constante.
Ejemplo 2
Halla la razón de áreas de dos figuras con razón de semejanza 2 : 3.
1
La razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza.
razón de áreas = 2² : 3²
2
Calcula.
= 4 : 9
▸ 4 : 9
Si la razón de semejanza es m : n, la de áreas es m² : n².
Puntos clave
Esencia
AA → razón de lados → razón de áreas = razón²
AA es el criterio más rápido
Tipo de examen escolar de 2.º ESO
Dos triángulos semejantes tienen razón 1 : 2. El menor tiene área 5. ¿Cuál es el área del mayor?
①10
②15
③20
④25
⑤40
▸ ③ 20
1
La razón de áreas es el cuadrado de la de semejanza: 1² : 2² = 1 : 4.
razón de áreas = 1 : 4
2
Es 4 veces el área menor.
5 × 4 = 20
🎯 Puntos clave
①AA: con dos pares basta
②Razón = lados correspondientes
③No mezcles: áreas² y volúmenes³
④Sombras: rayos paralelos → triángulos semejantes
⑤Orden: ABC ~ DEF significa A↔D, B↔E, C↔F
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Rectas paralelas y proporciones
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