La semejanza es la relación entre dos figuras con exactamente la misma forma y distinto tamaño.
Igual que una cara conserva sus rasgos cuando se amplía o se reduce una foto, las figuras semejantes tienen todos los ángulos correspondientes iguales y todos los lados correspondientes en la misma razón.
Esa razón fija es la razón de semejanza, y como al duplicar las longitudes el área se multiplica por 4 y el volumen por 8, la razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza y la de volúmenes, su cubo.
En los triángulos, si dos ángulos son iguales el tercero también lo es por fuerza, así que basta comprobar dos ángulos para decidir si son semejantes.
Ampliar y reducir
seegongsik.com
El triángulo A'B'C', que crece y decrece con la razón de semejanza, y sus razones de lados y áreas con el triángulo ABC
1.5
📱 La semejanza con fotos
①Al separar dos dedos sobre una foto del móvil, la forma se mantiene y solo crece el tamaño: eso es la semejanza.
②En dos figuras semejantes, los ángulos correspondientes son todos iguales.
③Los lados correspondientes están todos en la misma razón, que es la razón de semejanza.
④Con k = 1,5 en la figura, el lado AB = 80 pasa a ser A'B' = 120, y los otros dos lados también se multiplican por 1,5.
Dos ángulos iguales bastan
seegongsik.com
Un triángulo pequeño y otro grande con los mismos dos ángulos, y el tercer ángulo, que se iguala solo
50°
70°
Criterios de semejanza de triángulos
LLL · LAL · AA
De los tres criterios, el que más se usa en los exámenes es el AA.
💡 Los tres criterios
①LLL: si los tres pares de lados correspondientes están en la misma razón, los triángulos son semejantes.
②LAL: si dos pares de lados están en la misma razón y el ángulo comprendido es igual, son semejantes.
③AA: si dos pares de ángulos correspondientes son iguales, son semejantes. Como los ángulos suman 180°, el ángulo restante también es igual.
④Al cambiar ∠A y ∠B en la figura, el tercer ángulo de los dos triángulos de distinto tamaño sigue siempre con el mismo valor.
Razón de semejanza, de áreas y de volúmenes
Razón de semejanza y razón de áreas
razón de semejanza m : n → razón de áreas m² : n²
El área es longitud por longitud, así que su razón se eleva al cuadrado.
Razón de semejanza y razón de volúmenes
razón de semejanza m : n → razón de volúmenes m³ : n³
El volumen es producto de tres longitudes, así que su razón se eleva al cubo.
📝 ¿Por qué cuadrados y cubos?
①Al duplicar el lado de un cuadrado se duplican el ancho y el alto, así que el área se multiplica por 2 × 2 = 4.
②Al duplicar la arista de un cubo se duplican ancho, fondo y alto, así que el volumen se multiplica por 2 × 2 × 2 = 8.
③Por eso, con razón de semejanza 1 : 2, la razón de áreas es 1 : 4 y la de volúmenes 1 : 8.
La semejanza en la vida diaria
🌳 Medir un árbol con sombras
①A la misma hora se miden la sombra de una persona y la del árbol.
②Los rayos del sol llegan paralelos, así que el triángulo formado por la persona, su sombra y el rayo es semejante (AA) al formado por el árbol, su sombra y el rayo.
③(estatura) : (sombra de la persona) = (altura del árbol) : (sombra del árbol).
④Resolviendo esta proporción se obtiene la altura del árbol sin subir a él.
🗺️ Escalas de mapas y maquetas
①Un mapa a escala 1 : 50 000 es semejante al terreno real con razón 1 : 50 000.
②2 cm en el mapa son 2 × 50 000 = 100 000 cm, es decir, 1 km en la realidad.
③Si una maqueta a escala 1 : 100 mide 10 cm de alto, el edificio real mide 1000 cm, es decir, 10 m.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Dos triángulos semejantes tienen razón 2 : 3. Un lado del menor mide 4. Halla el lado correspondiente del mayor.
1
La razón de lados correspondientes es la razón de semejanza.
2 : 3 = 4 : x
2
Resuelve la proporción.
2x = 12 ⇒ x = 6
▸ 6
Los lados correspondientes de figuras semejantes guardan razón constante.
Ejemplo 2
Halla la razón de áreas de dos figuras con razón de semejanza 2 : 3.
1
La razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza.
razón de áreas = 2² : 3²
2
Calcula.
= 4 : 9
▸ 4 : 9
Si la razón de semejanza es m : n, la de áreas es m² : n².
Puntos clave para el examen
El hilo de la semejanza
AA → razón de lados correspondientes = razón de semejanza → razón de áreas = (razón de semejanza)²
El criterio AA es el camino más rápido para probar semejanza y el que más aparece en los exámenes.
Tipo de examen escolar de 2.º ESO
Dos triángulos semejantes tienen razón 1 : 2. El menor tiene área 5. ¿Cuál es el área del mayor?
①10
②15
③20
④25
⑤40
▸ ③ 20
1
La razón de áreas es el cuadrado de la de semejanza: 1² : 2² = 1 : 4.
razón de áreas = 1 : 4
2
Es 4 veces el área menor.
5 × 4 = 20
🎯 Puntos de examen
①Para el criterio AA bastan dos ángulos iguales; no hace falta comprobar el tercero.
②La razón de semejanza es la razón entre lados correspondientes y es la misma para todos los pares.
③La razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza y la de volúmenes, el cubo; no hay que confundirlas.
④En los problemas de sombras, los triángulos semejantes salen de que los rayos del sol son paralelos.
⑤Si △ABC ∼ △DEF, A corresponde a D, B a E y C a F; hay que respetar ese orden al escribir el símbolo.