Una ventana, la tapa de un libro o una baldosa son cuadriláteros, figuras limitadas por cuatro lados, y un cuadrilátero cuyos dos pares de lados opuestos son paralelos es un paralelogramo.
En un paralelogramo, los lados opuestos miden lo mismo, los ángulos opuestos son iguales y las dos diagonales se cortan en su punto medio.
Si se añade la condición de que los cuatro ángulos sean rectos, se obtiene un rectángulo; si se añade la de que los cuatro lados sean iguales, un rombo; con las dos, un cuadrado.
En la figura, al subir ∠A hasta 90° o poner la razón de los lados en 1, se ve cómo el mismo paralelogramo cambia de nombre y de propiedades cada vez que gana una condición.
Del paralelogramo al cuadrado
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El cuadrilátero ABCD, que pasa a ser paralelogramo, rectángulo, rombo o cuadrado según ∠A y la razón de los lados
65°
0.7
👀 Relación entre los cuadriláteros
①Un paralelogramo es un cuadrilátero con los dos pares de lados opuestos paralelos.
②Cuando un ángulo del paralelogramo llega a 90°, los cuatro lo son y se obtiene un rectángulo; sus diagonales pasan a medir lo mismo.
③Cuando dos lados contiguos se igualan, los cuatro lados son iguales y se obtiene un rombo; sus diagonales pasan a ser perpendiculares.
④Con las dos condiciones se obtiene un cuadrado, que reúne las propiedades del rectángulo y del rombo.
Propiedades del paralelogramo
Tres propiedades del paralelogramo
lados opuestos iguales · ángulos opuestos iguales · diagonales que se cortan en su punto medio
Las tres se deducen de que una diagonal divide el paralelogramo en dos triángulos iguales (criterio ALA).
💡 Condiciones para ser paralelogramo
①Los dos pares de lados opuestos son paralelos (definición).
②Los dos pares de lados opuestos miden lo mismo.
③Los dos pares de ángulos opuestos son iguales.
④Las diagonales se cortan en su punto medio.
⑤Un par de lados opuestos es paralelo y de igual longitud. Basta comprobar una de estas cinco condiciones.
Rectángulo, rombo y cuadrado
Lo que añade el rectángulo
los cuatro ángulos miden 90° y las diagonales son iguales
Un paralelogramo con un ángulo de 90° es un rectángulo.
Lo que añade el rombo
los cuatro lados son iguales y las diagonales son perpendiculares
Un paralelogramo con dos lados contiguos iguales es un rombo.
Cuadrado
cuadrilátero que es a la vez rectángulo y rombo = cuadrado
Con cuatro lados iguales y cuatro ángulos de 90°, sus diagonales son iguales, perpendiculares y se cortan en su punto medio.
Cómo se incluyen unos cuadriláteros en otros
📝 Relaciones de inclusión
①cuadrado ⊂ rectángulo ⊂ paralelogramo.
②cuadrado ⊂ rombo ⊂ paralelogramo.
③Un cuadrado es a la vez rectángulo y rombo.
④Que un paralelogramo sea o no un trapecio depende de la definición: si el trapecio tiene un solo par de lados paralelos, como es habitual, no lo es; con la definición «al menos un par», sí.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
En un paralelogramo un ángulo interior es 110°. Halla el ángulo interior adyacente.
1
Los ángulos interiores adyacentes de un paralelogramo suman 180°.
ángulo adyacente = 180° − 110°
2
Calcula.
= 70°
▸ 70°
En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los adyacentes suman 180°.
Ejemplo 2
En el paralelogramo ABCD, AB = 8 y BC = 5. Halla el perímetro.
1
Un paralelogramo tiene dos pares de lados opuestos iguales.
perímetro = 2 × (8 + 5)
2
Calcula.
= 26
▸ 26
Los lados opuestos de un paralelogramo tienen igual longitud.
Puntos clave para el examen
Cómo se acumulan las propiedades
paralelogramo → rectángulo o rombo → cuadrado
En cada paso hay que distinguir con precisión qué condición se añade.
Tipo de examen escolar de 2.º ESO
En un paralelogramo, los ángulos adyacentes ∠A y ∠B están en razón 2 : 3. ¿Cuánto vale ∠A?
①60°
②72°
③90°
④108°
⑤120°
▸ ② 72°
1
Los ángulos adyacentes suman 180°, así que 2k + 3k = 180°.
2k + 3k = 180° ⇒ 5k = 180°
2
k = 36°, así que ∠A = 2k.
∠A = 2 × 36° = 72°
🎯 Puntos clave
①Para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo basta con probar una de las cinco condiciones.
②Un rectángulo es un paralelogramo con un ángulo de 90°, o, de forma equivalente, con diagonales iguales.
③Un rombo es un paralelogramo con dos lados contiguos iguales, o, de forma equivalente, con diagonales perpendiculares.
④Áreas: paralelogramo = base × altura; rombo = (producto de las diagonales) ÷ 2.
⑤Dos ángulos contiguos de un paralelogramo suman 180°.