El triángulo es el polígono más sencillo, con tres lados y tres ángulos, y además es rígido: en cuanto se fijan las longitudes de sus tres lados, su forma ya no puede cambiar.
En un triángulo isósceles, que tiene dos lados iguales, los dos ángulos de la base son siempre iguales, y en cualquier triángulo los tres ángulos interiores suman 180°.
El ángulo exterior que se forma al prolongar un lado en un vértice es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes, y eso permite resolver muchos problemas de ángulos en una sola línea.
Al cambiar los ángulos en las dos figuras se comprueba cómo encajan estas propiedades con números.
Los dos ángulos de la base de un triángulo isósceles
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Un triángulo isósceles ABC con ángulos de la base regulables, su ángulo desigual y la bisectriz de ese ángulo
65°
👀 Propiedades del triángulo isósceles
①En un triángulo isósceles con AB = AC, los ángulos de la base ∠B y ∠C son iguales.
②La bisectriz del ángulo desigual corta la base en dos mitades y es perpendicular a ella; es la línea discontinua de la figura.
③Al revés, un triángulo con dos ángulos iguales tiene iguales los lados opuestos a ellos, así que es isósceles.
④Al crecer los ángulos de la base, el ángulo desigual se reduce a 180° − 2 × (ángulo de la base).
Ángulos interiores y exteriores
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El triángulo ABC con dos ángulos elegidos y el ángulo exterior en C formado al prolongar BC
50°
60°
Suma de los ángulos de un triángulo
∠A + ∠B + ∠C = 180°
Al trazar por A la paralela a BC, los ángulos alternos reúnen los tres ángulos sobre una recta y suman 180°.
Propiedad del ángulo exterior
(ángulo exterior en C) = ∠A + ∠B
El ángulo exterior y ∠C suman 180°, igual que ∠A + ∠B + ∠C, así que el ángulo exterior es igual a ∠A + ∠B.
Triángulos equiláteros y rectángulos
💡 Triángulos especiales
①Un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales y los tres ángulos de 60°.
②Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°, así que sus dos ángulos agudos suman 90°.
③Un triángulo rectángulo isósceles tiene ángulos de 90°, 45° y 45°, y su hipotenusa mide √2 veces cada cateto.
Criterios de igualdad de triángulos
Criterios de igualdad
LLL · LAL · ALA
LLL: tres lados; LAL: dos lados y el ángulo comprendido; ALA: un lado y los dos ángulos contiguos.
📝 Los tres criterios
①LLL: si los tres pares de lados correspondientes son iguales, los triángulos son iguales.
②LAL: si dos pares de lados correspondientes son iguales y el ángulo comprendido también, los triángulos son iguales.
③ALA: si un par de lados correspondientes es igual y también los dos ángulos contiguos, los triángulos son iguales.
④Los triángulos rectángulos tienen además el criterio de hipotenusa y un cateto, que no sirve para triángulos en general.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
En un triángulo isósceles el ángulo del vértice es 40°. Halla un ángulo de la base.
1
Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales y los tres ángulos suman 180°.
suma de ángulos de la base = 180° − 40° = 140°
2
Como los dos ángulos de la base son iguales, se divide entre 2.
un ángulo de la base = 140° ÷ 2 = 70°
▸ 70°
Los dos ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
Ejemplo 2
Dos ángulos interiores de un triángulo son 50° y 60°. Halla el ángulo exterior del tercer vértice.
1
El ángulo exterior en el tercer vértice es igual a la suma de los interiores no adyacentes, 50° y 60°.
ángulo exterior = 50° + 60°
2
Se suman los dos ángulos.
= 110°
▸ 110°
Calcular antes el tercer ángulo interior, 70°, y restarlo de 180° da el mismo resultado.
Puntos clave para el examen
Lo esencial de los triángulos
suma de ángulos 180° · ángulo exterior = suma de los dos interiores no adyacentes · criterios LLL, LAL, ALA
La igualdad de los ángulos de la base del triángulo isósceles es lo que más se pregunta.
Tipo de examen escolar de 2.º ESO
En un triángulo isósceles un ángulo de la base es 65°. ¿Cuál es el ángulo del vértice?
①40°
②45°
③50°
④55°
⑤65°
▸ ③ 50°
1
Los ángulos de la base son iguales, así que juntos suman 65° × 2 = 130°.
suma de ángulos de la base = 65° × 2 = 130°
2
Se resta de la suma de ángulos, 180°.
ángulo del vértice = 180° − 130° = 50°
🎯 Puntos de examen
①En un triángulo isósceles, «dos lados iguales» y «dos ángulos de la base iguales» se garantizan mutuamente.
②Un ángulo exterior es la suma de los dos interiores no adyacentes, así que se puede hallar sin calcular cada ángulo interior.
③Para demostrar una igualdad de triángulos, hay que ver cuál de los criterios LLL, LAL o ALA cumplen los datos.
④Cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°.
⑤En LAL el ángulo debe ser el comprendido entre los dos lados; si los ángulos iguales no están entre ellos, los triángulos pueden no ser iguales.