La función lineal y = ax + b y la ecuación lineal ax + b = 0 son la misma expresión leída en dos sentidos.
Donde la gráfica corta al eje x, y vale 0, así que la abscisa de ese punto es justamente la solución de la ecuación.
Una ecuación con dos incógnitas, ax + by + c = 0, también se dibuja como una recta, y el punto donde se cortan dos rectas da la solución del sistema.
En la primera figura, al cambiar la pendiente o la ordenada en el origen se mueve el punto rojo del eje x, y ese punto es la respuesta de la ecuación.
El corte con el eje x es la solución
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Una recta que se mueve con su pendiente y su ordenada en el origen, y el punto donde corta al eje x
2
-4
👀 Resolver una ecuación con la gráfica
①Donde la recta y = ax + b corta al eje x, y = 0.
②Por eso la abscisa de ese punto cumple ax + b = 0: la solución de la ecuación es el corte de la gráfica con el eje x.
③Si la pendiente es 0, la recta es paralela al eje x. Con b ≠ 0 no lo corta y no hay solución; con b = 0 coincide con el eje y toda x es solución.
Gráficas de ecuaciones con dos incógnitas
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La recta ax + by + c = 0 y sus dos cortes con los ejes al cambiar a, b y c
2
-1
3
Ecuación lineal con dos incógnitas
ax + by + c = 0 → una recta en el plano cartesiano
Si b ≠ 0, al despejar y queda y = −(a/b)x − c/b, una función lineal. Si b = 0, es la recta vertical x = −c/a.
Solución de un sistema y punto de corte
Relación clave
solución (x, y) del sistema = punto de corte de las dos rectas
Un punto que cumple las dos ecuaciones está a la vez sobre las dos rectas.
💡 Tres casos posibles
①Pendientes distintas: las rectas se cortan en un solo punto y hay una solución.
②Misma pendiente y distinta ordenada en el origen: las rectas son paralelas, no se cortan y no hay solución.
③Misma pendiente y misma ordenada en el origen: las rectas coinciden y hay infinitas soluciones.
Rectas de la forma x = k e y = k
📝 Rectas horizontales y verticales
①y = 2 equivale a 0·x + y − 2 = 0: una recta horizontal, paralela al eje x, y una función de pendiente 0.
②x = 3 equivale a x + 0·y − 3 = 0: una recta vertical, paralela al eje y.
③En x = 3 un mismo x se asocia con infinitos valores de y, así que no es función. Si en la figura de arriba se pone b = 0, aparece justamente una recta vertical así.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Escribe la recta 2x + y − 4 = 0 en la forma y = ax + b.
1
Se pasan 2x y −4 al segundo miembro para dejar solo y.
y = −2x + 4
2
Lee la pendiente y la ordenada al origen.
pendiente −2, ordenada 4
▸ y = −2x + 4
Al despejar y en ax + by + c = 0, la pendiente y la ordenada en el origen quedan a la vista.
Ejemplo 2
Halla la intersección de las rectas y = x + 1 e y = −x + 5.
1
En el punto de corte las dos rectas tienen la misma y, así que se igualan los segundos miembros.
x + 1 = −x + 5 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
2
Se sustituye x = 2 en una de las ecuaciones para hallar y.
y = 2 + 1 = 3
▸ (2, 3)
El punto de corte de dos rectas es la solución del sistema formado por sus ecuaciones.
Puntos clave para el examen
Tres formas de escribir una relación
y = ax + b ↔ ax − y + b = 0 ↔ una recta en el plano
La misma relación se lee como función, como ecuación y como gráfica.
Tipo de examen escolar de 2.º ESO
Si las rectas y = ax + 1 e y = 3x − 2 son paralelas, ¿cuánto vale a?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente y distinta ordenada en el origen.
a = 3
2
Las ordenadas en el origen 1 y −2 son distintas, así que las rectas no coinciden.
1 ≠ −2 ⇒ paralelas
🎯 Puntos de examen
①La solución de ax + b = 0 es el corte de y = ax + b con el eje x (se sustituye y = 0).
②La gráfica de ax + by + c = 0 es una recta.
③La solución de un sistema es el punto de corte de las dos rectas.
④x = k es una recta vertical y no es función; y = k es una función de pendiente 0.
⑤y = a₁x + b₁ e y = a₂x + b₂ son paralelas cuando a₁ = a₂ y b₁ ≠ b₂.