Funciones y ecuaciones lineales

Linear Functions & Equations

Una función lineal y una ecuación lineal son la misma relación, leída de dos maneras. Donde la gráfica de y = ax + b corta el eje x, y vale 0, así que esa x es la solución de ax + b = 0. La ecuación de dos incógnitas ax + by + c = 0 es una recta en el plano, y el punto donde se cruzan dos rectas es la solución del sistema. Si mueves la pendiente a y la ordenada b, el corte con el eje x queda en la respuesta de la ecuación.

Relación entre función y ecuación

pendiente a2

ordenada b-4

👀 Función ↔ ecuación

①En y = ax + b, busca la intersección con el eje x

②Como y = 0, ax + b = 0

③La solución de la ecuación es la intersección con el eje x

Forma general ax + by + c = 0

b-1

Ecuación con dos variables

ax + by + c = 0 → recta en el plano

si b ≠ 0 puedes despejar y

Sistema = intersección

Idea clave

solución del sistema = punto de corte de las dos rectas

es la intersección de las gráficas

💡 Tres casos

①Se cortan en un punto → 1 solución

②Paralelas (misma pendiente, distinta ordenada) → sin solución

③Coincidentes → infinitas soluciones

Rectas x = k o y = k

📝 Rectas especiales

①x = 3: vertical (no es función)

②y = 2: horizontal (función con pendiente 0)

③En x = k un mismo x da infinitos y, así que no es función

Resuélvelo

Ejemplo 1

Escribe la recta 2x + y − 4 = 0 en la forma y = ax + b.

Despeja y.

y = −2x + 4

Lee la pendiente y la ordenada al origen.

pendiente −2, ordenada 4

▸ y = −2x + 4

La recta ax + by + c = 0 es una función lineal al despejar y.

Ejemplo 2

Halla la intersección de las rectas y = x + 1 e y = −x + 5.

En la intersección ambos valores de y coinciden, así que iguala.

x + 1 = −x + 5 ⇒ 2x = 4

Sustituye x = 2.

x = 2, y = 2 + 1 = 3

▸ (2, 3)

La intersección de dos rectas es la solución de sus dos ecuaciones.

Puntos clave

Función ↔ ecuación ↔ gráfica

y = ax+b ↔ ax − y + b = 0 ↔ recta

mismas relaciones, tres puntos de vista

Tipo de examen escolar de 2.º ESO

Si las rectas y = ax + 1 e y = 3x − 2 son paralelas, ¿cuánto vale a?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

Las rectas paralelas tienen pendientes iguales.

paralelas ⇔ pendiente a = 3

Compara las pendientes.

a = 3

🎯 Puntos clave

①Solución = intersección con eje x (y = 0)

②ax+by+c=0 representa una recta

③Sistema = corte de dos rectas

④x = k es vertical, no es función

⑤Posición: paralelas si misma pendiente y distinta ordenada (a₁ = a₂, b₁ ≠ b₂)

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Propiedades del triángulo

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