Sean cuales sean a y b, la gráfica de la función lineal y = ax + b es una recta.
La pendiente a indica cuánto cambia y cuando x aumenta 1, y cuanto mayor es su valor absoluto, más empinada es la recta.
La ordenada en el origen b es la altura a la que la recta corta al eje y, así que cambiar solo b desplaza la recta hacia arriba o hacia abajo sin alterar su inclinación.
El triángulo azul punteado de la figura parte del punto verde, avanza 1 hacia la derecha y luego sube o baja a, por eso su lado vertical cambia al mover la pendiente.
Una relación que cambia a ritmo constante
👀 Qué es una función lineal
①Una relación en la que y cambia siempre la misma cantidad cada vez que x aumenta 1 es una función lineal, de la forma y = ax + b (a ≠ 0).
②Un coche que va a 30 km/h recorre 30 km más por cada hora que pasa, así que la distancia es una función lineal del tiempo.
③Si una relación con tasa de cambio constante se dibuja punto a punto, todos los puntos quedan sobre una misma recta.
Pendiente y ordenada en el origen
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La gráfica de y = ax + b y su triángulo de pendiente, que cambian con la pendiente y la ordenada en el origen
2
1
Expresión de la función lineal
y = ax + b
a es la pendiente (el cambio de y cuando x aumenta 1) y b es la ordenada en el origen (el valor de y cuando x = 0).
Lo que dice la pendiente
Fórmula de la pendiente
a = Δ yΔ x = y2 - y1x2 - x1
Conocidos dos puntos de la recta, se divide el cambio de y entre ellos por el cambio de x.
💡 Signo y tamaño de la pendiente
①Si a > 0, la recta sube de izquierda a derecha.
②Si a < 0, la recta baja de izquierda a derecha.
③Cuanto mayor es |a|, más empinada es la recta. Al subir la pendiente de 1 a 3 en la figura, el lado vertical del triángulo punteado se triplica.
④Si a = 0, y no cambia aunque cambie x y la recta es horizontal; entonces es una función constante, no lineal.
⑤Hacia dónde se inclina la recta actual aparece escrito arriba a la izquierda de la figura.
Dibujar y leer la gráfica
📝 Pasos para dibujar la gráfica
①Se marca un punto en el eje y a la altura b (el punto verde de la figura).
②Desde ese punto se avanza 1 hacia la derecha y a hacia arriba (hacia abajo si a es negativa) y se marca un segundo punto. El triángulo azul punteado muestra justo ese movimiento.
③Se traza la recta que pasa por los dos puntos.
④Si se necesita el corte con el eje x, se sustituye y = 0 y se obtiene x = −b/a.
⑤Dos rectas con la misma pendiente y distinta ordenada en el origen son paralelas.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla la pendiente y la ordenada en el origen de y = 2x − 3.
1
En la forma y = ax + b, el coeficiente a de x es la pendiente y el término independiente b es la ordenada en el origen.
a = 2, b = −3
2
Se leen los dos valores directamente en la expresión.
pendiente 2, ordenada −3
▸ pendiente 2, ordenada −3
Si la expresión ya tiene la forma y = ax + b, a y b se leen sin hacer cálculos.
Ejemplo 2
Halla la pendiente de la recta que pasa por (1, 3) y (4, 9).
1
La pendiente es el aumento de y dividido entre el aumento de x.
pendiente = (9 − 3) / (4 − 1)
2
Se calculan por separado el numerador y el denominador.
= 6 / 3 = 2
▸ 2
Con dos puntos dados, se divide la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de las abscisas. Restar en el orden contrario da el mismo resultado.
Resumen
Claves de la gráfica de una función lineal
y = ax + b → pendiente a, ordenada en el origen b, corte con el eje x en −b/a
El signo de la pendiente fija la dirección de la recta y su tamaño, lo empinada que es.
Examen de 2.º ESO
¿En qué valor de x corta al eje x la gráfica de y = 3x − 6?
①−6
②−2
③2
④3
⑤6
▸ ③ 2
1
El corte con el eje x es el valor de x cuando y = 0.
0 = 3x − 6
2
Se resuelve esta ecuación para x.
3x = 6 ⇒ x = 2
🎯 Puntos de examen
①Con dos puntos dados, primero se halla la pendiente y luego se sustituye un punto en y = ax + b para obtener b.
②Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente y distinta ordenada en el origen (a₁ = a₂, b₁ ≠ b₂).
③El corte con el eje x se obtiene sustituyendo y = 0.
④La ordenada en el origen se obtiene sustituyendo x = 0.
⑤Los signos de la pendiente y de la ordenada en el origen indican por qué cuadrantes pasa la gráfica.