Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar los valores que cumplen a la vez dos ecuaciones con dos incógnitas.
Si se compran 10 piezas de fruta entre manzanas y peras y se pagan 13 euros, hay que plantear una ecuación para el número de piezas y otra para el precio, y resolverlas juntas para saber cuántas manzanas y cuántas peras hay.
Hay dos caminos: la reducción, que suma o resta las ecuaciones para eliminar una incógnita, y la sustitución, que escribe una ecuación como y = … y la introduce en la otra.
En la gráfica cada ecuación es una recta, y las coordenadas del punto donde se cortan las dos rectas son justo la solución que cumple ambas.
Un punto que cumple las dos condiciones
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Dos rectas cuya pendiente y ordenada en el origen se pueden cambiar, y las coordenadas de su punto de corte
1
1
-1
3
👀 Donde se cortan dos rectas
①Todos los puntos de la recta 1 cumplen y = ax + b.
②Todos los puntos de la recta 2 cumplen y = cx + d.
③Solo el punto de corte está en las dos rectas a la vez, así que solo él cumple las dos ecuaciones: sus coordenadas son la solución del sistema. Al mover las rectas en la figura, esas coordenadas aparecen exactas, fracciones incluidas.
Reducción: eliminar una incógnita
📝 Resolución por reducción
①Sean x + y = 5 … (1) y x − y = 1 … (2).
②Al sumar (1) y (2) miembro a miembro desaparece y: 2x = 6, así que x = 3.
③Sustituyendo x = 3 en (1) queda 3 + y = 5, luego y = 2.
④Comprobación: en (2), 3 − 2 = 1 también se cumple.
La idea de la reducción
igualar (o hacer opuestos) los coeficientes de una incógnita y restar (o sumar) las ecuaciones
Si los coeficientes son distintos, primero se multiplica cada ecuación por un número adecuado.
Sustitución: meter una ecuación en la otra
📝 Resolución por sustitución
①Sean y = 2x − 1 … (1) y 3x + y = 9 … (2).
②Al poner en (2) la y de (1) queda 3x + (2x − 1) = 9.
③Simplificando, 5x − 1 = 9 y 5x = 10, así que x = 2.
④Sustituyendo x = 2 en (1), y = 2 × 2 − 1 = 3.
La idea de la sustitución
despejar y = (expresión en x) en una ecuación → sustituirla en la y de la otra
La sustitución es cómoda cuando una incógnita tiene coeficiente 1 o una ecuación ya está en la forma y = ….
Número de soluciones y gráfica
💡 ¿Cuántas soluciones hay?
①Si las pendientes son distintas, las rectas se cortan en un punto y hay una solución.
②Si las pendientes son iguales y las ordenadas en el origen distintas, las rectas son paralelas y no se cortan, así que no hay solución.
③Si pendientes y ordenadas coinciden, las rectas son la misma y hay infinitas soluciones. Igualando las dos pendientes en la figura se ven ambos casos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Resuelve el sistema x + y = 5, x − y = 1 por reducción.
1
Al sumar las dos ecuaciones miembro a miembro desaparece y.
(x + y) + (x − y) = 5 + 1 ⇒ 2x = 6
2
Se sustituye x = 3 en una ecuación para hallar y.
x = 3, y = 5 − 3 = 2
▸ x = 3, y = 2
La reducción iguala los coeficientes de una incógnita y suma o resta para eliminarla.
Ejemplo 2
Resuelve el sistema y = 2x − 1, 3x + y = 9 por sustitución.
1
Se pone la y de la primera ecuación en lugar de la y de la segunda.
3x + (2x − 1) = 9 ⇒ 5x = 10
2
Se sustituye x = 2 en la primera ecuación.
x = 2, y = 2·2 − 1 = 3
▸ x = 2, y = 3
La sustitución es cómoda cuando una ecuación ya tiene la forma y = (expresión).
Puntos clave para el examen
Estrategia para resolver sistemas
reducción: igualar coeficientes → sumar o restar sustitución: y = … → sustituir
Los dos métodos se reducen a eliminar una incógnita y quedarse con una sola ecuación lineal.
Tipo de examen escolar de 2.º ESO
El sistema x + ay = 7, 2x − y = 4 tiene solución x = 3, y = 2. ¿Cuánto vale a?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ② 2
1
Se sustituye la solución x = 3, y = 2 en la primera ecuación.
3 + a·2 = 7
2
Se despeja a.
2a = 4 ⇒ a = 2
🎯 Puntos de examen
①Con coeficientes sencillos conviene la reducción; si una ecuación ya es y = …, la sustitución es más rápida.
②Al restar ecuaciones, cambia el signo de todos los términos de la ecuación que se resta.
③Una vez resuelto, se comprueba la solución en las dos ecuaciones.
④En los problemas con dos incógnitas se plantean dos ecuaciones a partir de dos condiciones.
⑤En la gráfica, las coordenadas del punto de corte de las dos rectas son la solución.