Sistemas de ecuaciones lineales

System of Linear Equations

Un sistema de ecuaciones busca los valores que cumplen a la vez dos ecuaciones con dos incógnitas. Si compras manzanas y peras, una ecuación para la cantidad y otra para el precio te dicen cuántas compraste de cada una. Puedes despejar una letra y sustituirla en la otra, o sumar y restar para eliminar una letra. Aquí, donde se cruzan las dos rectas está la solución del sistema.

Intuición — cumplir dos condiciones a la vez

pendiente recta 11

ordenada recta 11

pendiente recta 2-1

ordenada recta 23

👀 Cruce de rectas

①Recta 1: y = ax + b

②Recta 2: y = cx + d

③Punto de corte: el (x, y) que cumple ambas

Reducción — eliminar una incógnita

📝 Ejemplo

①x + y = 5

②x − y = 1

③Sumando: 2x = 6 → x = 3

④Sustituye en

①: y = 2

Idea

iguala los coeficientes y suma o resta

si los coeficientes difieren, multiplica para que coincidan

Sustitución

📝 Ejemplo

①y = 2x − 1

②3x + y = 9

③Sustituyendo: 3x + (2x − 1) = 9

④5x − 1 = 9 → x = 2

⑤y = 2·2 − 1 = 3

Idea

despeja y → sustituye en la otra

si una incógnita tiene coeficiente 1, sustituir es más cómodo

Número de soluciones

💡 Casos

①Una intersección → 1 solución

②Paralelas → ninguna

③Coincidentes → infinitas

Resuélvelo

Ejemplo 1

Resuelve el sistema x + y = 5, x − y = 1 por reducción.

Sumar las dos ecuaciones elimina y.

(x + y) + (x − y) = 5 + 1 ⇒ 2x = 6

Sustituye x = 3 en una ecuación.

x = 3, y = 5 − 3 = 2

▸ x = 3, y = 2

La reducción iguala un coeficiente y luego suma o resta para cancelar.

Ejemplo 2

Resuelve el sistema y = 2x − 1, 3x + y = 9 por sustitución.

Sustituye la primera ecuación en la y de la segunda.

3x + (2x − 1) = 9 ⇒ 5x = 10

Sustituye x = 2.

x = 2, y = 2·2 − 1 = 3

▸ x = 2, y = 3

Cuando una ecuación es y = (expresión), la sustitución es cómoda.

Puntos clave

Estrategia

reducción: igualar coeficientes; sustitución: despejar y reemplazar

ambos métodos eliminan una incógnita

Tipo de examen escolar de 2.º ESO

El sistema x + ay = 7, 2x − y = 4 tiene solución x = 3, y = 2. ¿Cuánto vale a?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ② 2

Sustituye la solución (3, 2) en la primera ecuación.

3 + a·2 = 7

Despeja a.

2a = 4 ⇒ a = 2

🎯 Puntos clave

①Elige reducción o sustitución según los coeficientes

②Cuidado con los signos al cambiar

②

③Comprueba la solución en ambas ecuaciones

④Problemas: 2 incógnitas → 2 ecuaciones

⑤Gráficamente, el corte = solución

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Inecuaciones lineales

Gráfica de la función lineal

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