Una inecuación usa uno de los signos <, >, ≤, ≥ en lugar del signo igual para comparar dos cantidades.
La ecuación x = 3 tiene una sola solución, pero la inecuación x > 3 la cumplen todos los números mayores que 3, así que su solución es un tramo entero de la recta numérica.
Una atracción a la que solo se sube con al menos 120 cm de estatura, o cuántos cuadernos caben en un presupuesto de diez euros, son condiciones cotidianas que en realidad son inecuaciones.
Resolver una inecuación es casi igual que resolver una ecuación; la única diferencia es que el signo se invierte al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo.
Un signo de desigualdad en lugar del igual
👀 Las inecuaciones y sus soluciones
①Solo el número 3 hace verdadera la ecuación x = 3.
②La inecuación x > 3 se cumple con 3,1, con 4 y con 100: su solución no es un número sino un intervalo.
③En la recta numérica, < y > excluyen el extremo y se dibujan con un círculo vacío (○); ≤ y ≥ lo incluyen y se dibujan con un círculo relleno (●).
④En palabras, ≥ es «mayor o igual que», ≤ es «menor o igual que», > es «mayor que» y < es «menor que».
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La solución de una inecuación sombreada en la recta numérica según el extremo y el signo
3
>
Multiplicar por un negativo invierte el signo
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Adónde se mueven en la recta los dos puntos de 2 < 5 al multiplicar ambos lados por el mismo número
2
Propiedad de las desigualdades
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc y a/c > b/c
Sumar o restar el mismo número, o multiplicar o dividir por un número positivo, mantiene el sentido del signo. Solo al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte.
Resolver inecuaciones lineales
Orden de los pasos
quitar paréntesis → transponer → reducir términos semejantes → dividir por el coeficiente de x
Los pasos son los mismos que en una ecuación lineal. Si el coeficiente por el que se divide al final es negativo, se invierte el signo.
📝 Una resolución paso a paso
①En 2x − 3 > 5, al pasar −3 al segundo miembro queda 2x > 8.
②Al dividir ambos lados por el número positivo 2 queda x > 4, con el mismo signo.
③En la recta numérica se dibuja un círculo vacío en 4 y una flecha hacia la derecha. El propio 4 no es solución.
Aplicaciones de las inecuaciones
💡 Pasar un enunciado a inecuación
①Se llama x a la cantidad que se quiere hallar.
②Se elige el signo a partir de expresiones como «al menos», «como máximo», «más de», «menos de» o «no supera», y se escribe la inecuación.
③Tras resolverla, se conservan solo los valores que cumplen las condiciones del problema. Si la respuesta debe ser un número natural, como un número de objetos, solo cuentan los naturales del intervalo.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Resuelve la inecuación 2x − 3 > 5.
1
Se pasa la constante −3 al segundo miembro.
2x > 5 + 3 = 8
2
Se dividen ambos lados por el número positivo 2; el signo no cambia.
x > 4
▸ x > 4
Al dividir por un número positivo, el sentido del signo nunca cambia.
Ejemplo 2
Resuelve la inecuación −3x + 1 ≥ 7.
1
Se pasa la constante 1 al segundo miembro.
−3x ≥ 6
2
Al dividir ambos lados por el número negativo −3, el signo se invierte.
x ≤ −2
▸ x ≤ −2
Comprobación con x = −3: −3·(−3) + 1 = 10 ≥ 7 es verdadero, mientras que x = 0 da 1 ≥ 7, que es falso. La respuesta con el signo invertido es la correcta.
Puntos clave para el examen
Solución de ax + b > 0
x > −b/a si a > 0, x < −b/a si a < 0
La misma expresión da soluciones en sentidos opuestos según el signo del coeficiente a.
Tipo de examen escolar de 2.º ESO
¿Cuántos naturales x cumplen 5 − 2x ≥ −1?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
Se pasa 5 al segundo miembro; al dividir por el número negativo −2, el signo se invierte.
−2x ≥ −6 ⇒ x ≤ 3
2
Se cuentan los números naturales que cumplen x ≤ 3.
x = 1, 2, 3 ⇒ 3 números
🎯 Puntos de examen
①En la recta numérica, < y > llevan círculo vacío (○); ≤ y ≥, círculo relleno (●).
②Multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo invierte el signo; es el error más frecuente.
③Al transponer un término, cambia su signo.
④«Mayor o igual» y «menor o igual» incluyen el extremo; «mayor que» y «menor que» no.
⑤En problemas que piden números naturales, solo se cuentan los naturales del intervalo.