Las expresiones que mezclan letras como x e y siguen las mismas reglas que la aritmética, así que basta con unas pocas reglas para convertir una expresión larga en una corta.
Una expresión formada por un solo producto de números y letras, como 3x², es un monomio, y una suma de monomios es un polinomio.
Los términos con la misma parte literal, llamados semejantes, se agrupan como bloques de la misma forma y solo se suman sus coeficientes; para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica término a término con la propiedad distributiva, igual que el área de un rectángulo se divide en trozos.
Los bloques y el modelo de área de abajo muestran por qué se cumplen estas dos reglas.
Productos de números y letras
👀 Monomios y polinomios
①Una expresión que es solo un producto de números y letras es un monomio: 3x², −5xy y 7 son monomios.
②En 3x², 3 es el coeficiente, x² es la parte literal y el número de letras multiplicadas, 2, es el grado.
③Una expresión como 3x² + 2x − 1, suma de varios monomios, es un polinomio, y cada monomio sumado es un término.
Reducir términos semejantes
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Al alinear bloques x iguales, se suman sus cantidades, es decir, los coeficientes
3
2
Suma de términos semejantes
axn + bxn = (a + b)xn
Solo los términos con las mismas letras y los mismos grados pueden sumar sus coeficientes. 3x + 2x = 5x, pero 3x + 2 no se puede reducir más.
Polinomio × monomio como área
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Un rectángulo de altura x y anchura ax + b dividido en cuadrados x × x y tiras 1 × x
3
2
Propiedad distributiva
a(b + c) = ab + ac
Se multiplica el término de fuera del paréntesis por cada término de dentro, uno a uno. En la figura, el área del rectángulo grande es la suma de las áreas de los cuadrados y de las tiras.
Producto y cociente de monomios
Producto de monomios
(producto de coeficientes) × (leyes de los exponentes para cada letra)
En 3x² × 2x³, los coeficientes dan 3 × 2 = 6 y los exponentes 2 + 3 = 5, así que el resultado es 6x⁵.
Cociente de monomios
6x52x2 = 3x3
Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de cada letra. También se puede convertir la división en un producto por el inverso.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Calcula 3x2 × 4x3.
1
Se agrupan coeficientes con coeficientes y letras con letras, y se multiplica.
= (3 × 4) × (x2 × x3)
2
Se suman los exponentes de la misma letra x.
= 12x5
▸ 12x5
El producto de monomios se calcula juntando los coeficientes y las letras iguales.
Ejemplo 2
Desarrolla 2x(3x − 5).
1
Con la distributiva, se multiplica 2x por cada uno de los dos términos del paréntesis.
= 2x × 3x − 2x × 5
2
Se simplifica cada producto.
= 6x2 − 10x
▸ 6x2 − 10x
(monomio) × (polinomio) se desarrolla con la distributiva, igual que cortar en dos el rectángulo del modelo de área.
Puntos clave para el examen
Tres reglas detrás de todo cálculo
reducir semejantes + propiedad distributiva + leyes de los exponentes
Casi todo cálculo algebraico consiste en aplicar estas tres reglas en orden.
Tipo de examen escolar de 2.º ESO
Calcula 12a5 b3 ÷ 3a2 b.
①4a3 b2
②4a3 b3
③9a3 b2
④4a7 b4
⑤36a7 b4
▸ ① 4a3 b2
1
Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de cada letra.
= (12 ÷ 3) × a5−2 × b3−1
2
Se calcula cada parte y se simplifica.
= 4a3 b2
🎯 Puntos de examen
①Los términos semejantes deben tener exactamente las mismas letras y grados; x² y x no son semejantes.
②Al aplicar la distributiva, se multiplica también el signo que va delante del paréntesis.
③Al multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de la misma letra.
④Al dividir monomios se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de la misma letra.
⑤Los errores de signo son los más frecuentes: −2(3x − 4) = −6x + 8, así que también cambia el signo del segundo término.