Las propiedades de las potencias son reglas cortas para multiplicar, dividir y elevar a su vez potencias.
2³ × 2² significa multiplicar por 2 tres veces y luego dos veces más, es decir, cinco veces: 2⁵. Por eso, para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes.
De la misma forma, al dividir se restan los exponentes, y al elevar una potencia a otra se multiplican.
En esta página cambias la base y el exponente para ver lo rápido que crecen las potencias, y cuentas bloques para ver por qué se suman los exponentes.
Multiplicar el mismo número una y otra vez
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Diagrama de barras de cómo crecen las potencias según la base y el exponente
2
3
👀 Potencias
①2³ = 2 × 2 × 2 = 8: el 2 se multiplica tres veces; 2 es la base y 3 el exponente
②Cada vez que el exponente sube 1, el valor se multiplica otra vez por la base. Por eso las barras del dibujo suben cada vez más deprisa
③Las reglas para multiplicar repetidamente el mismo número son las propiedades de las potencias
Propiedad 1. Producto de potencias de igual base
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Contar bloques a para ver aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
2
3
Propiedad 1. Producto
am × an = am+n
Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: m factores a seguidos de n más son m + n factores
Propiedades 2 y 3. Cociente y potencia de una potencia
Propiedad 2. Cociente
am ÷ an = am-n (m > n, a ≠ 0)
Con la misma base, se restan los exponentes. Si m = n el resultado es 1; si m < n, queda 1 dividido entre a elevado a (n − m)
Propiedad 3. Potencia de una potencia
(am)n = amn
Al elevar una potencia a otra, se multiplican los exponentes
💡 ¿Por qué se multiplican los exponentes?
①(a²)³ = a² × a² × a²: tres grupos de dos aes, así que a se multiplica 2 × 3 = 6 veces
②En general, (aᵐ)ⁿ repite n veces «multiplicar por a m veces», y da aᵐⁿ
③Es fácil confundirla con la propiedad 1: el producto suma exponentes; la potencia de una potencia los multiplica
Propiedades 4 y 5. Potencia de un producto y de un cociente
Potencia de un producto
(ab)n = an × bn
Se eleva cada factor del producto, sin olvidar el coeficiente
Potencia de un cociente
(ab)n = anbn
Se eleva por separado el numerador y el denominador (b ≠ 0)
Comprobar con ejemplos
Ejemplo 1
Simplifica a4 × a3.
1
Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes.
a4 × a3 = a4+3
2
Se calcula el exponente.
= a7
▸ a7
Con m = 4 y n = 3 en el dibujo de bloques, hay 4 bloques a y 3 más: 7 en total.
Ejemplo 2
Simplifica (2a2 b)3.
1
En la potencia de un producto se eleva cada factor, también el 2.
= 23 × (a2)3 × b3
2
En la potencia de una potencia se multiplican los exponentes.
= 8a6 b3
▸ 8a6 b3
El error más frecuente es olvidar elevar el 2 al cubo y escribir 2a6 b3.
Repaso para el examen
Las propiedades de las potencias
am·an=am+n, am÷an=am-n, (am)n=amn
am × an = am+n, am ÷ an = am−n, (am)n = amn, (ab)n = an bn
Tipo examen de 2.º de ESO
Si an ÷ a2 = a5, ¿cuánto vale el número natural n? (a ≠ 0)
①5
②6
③7
④8
⑤10
▸ ③ 7
1
Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes.
an ÷ a2 = an−2 = a5
2
Se comparan los exponentes.
n − 2 = 5 ⇒ n = 7
🎯 Repaso para el examen
①Comprueba primero que la base es la misma; solo entonces se opera con los exponentes
②El producto suma exponentes, el cociente los resta y la potencia de una potencia los multiplica
③En el cociente, exponentes iguales dan 1, y si el de abajo es mayor queda una fracción
④(−2)² = 4, pero −2² = −4: los paréntesis cambian por completo el resultado
⑤En la potencia de un producto también se eleva el coeficiente: (2a)³ = 8a³