Racionales y decimales periódicos

Rational Numbers & Repeating Decimals

Al dividir 1 entre 3 sale 0,333... sin fin, y 1 entre 7 repite seis cifras. Algunas fracciones dan un decimal exacto y otras periódico, según si el denominador solo tiene factores 2 y 5. Multiplicando un periódico por una potencia de diez y restando, lo repetido desaparece y queda una fracción limpia. Mueve el denominador y la cifra del periodo y observa por qué un decimal termina o se repite.

Intuición — ¿qué pasa al dividir?

denominador n3

👀 El secreto de la división

①1 ÷ 3 = 0,333... (el 3 se repite)

②1 ÷ 7 = 0,142857142857... (periodo 6)

③Cambia el denominador para ver cuándo es finito y cuándo periódico

Finito vs periódico

🔑 ¿Cuándo es finito?

①Si los factores primos del denominador son solo 2 y 5 → finito

②Otros factores → periódico

③Ej.: 1/8 = 1/2³ es finito; 1/6 = 1/(2·3) es periódico

Criterio

finito si el denominador (irreducible) es 2^a · 5^b

tras simplificar, no puede tener primos distintos de 2 y 5

Periódico → fracción

cifra del periodo1

Un dígito periódico

0.ā = a9

periodo de 1 cifra → denominador 9

Dos dígitos periódicos

0.ab̄ = ab99

periodo de 2 cifras → denominador 99

Mixto periódico

Fórmula

0.ab̄ = ab - a90

separa la parte no periódica de la periódica

📝 Idea

①Sea x = 0,1666...

②10x = 1,666... y 100x = 16,666...

③100x − 10x = 15 → 90x = 15 → x = 15/90 = 1/6

Resuélvelo

Ejemplo 1

Determina si la fracción 3/40 es un decimal exacto o periódico.

Factoriza en primos el denominador de la fracción irreducible.

40 = 2³ × 5

Si los únicos factores primos son 2 y 5, es exacto.

solo primos 2, 5 ⇒ exacto (3/40 = 0.075)

▸ exacto (0.075)

Una fracción irreducible es exacta justo cuando su denominador solo tiene 2 y 5.

Ejemplo 2

Expresa el decimal periódico 0.444… como fracción irreducible.

Sea x = 0.444… y forma diez veces x.

x = 0.444…, 10x = 4.444…

Al restar se obtiene 9x = 4.

10x − x = 9x = 4 ⇒ x = 4/9

▸ 4/9

Multiplica un periódico por una potencia de 10 y resta para quitar el período.

Puntos clave

Esencia

periodo de n cifras → n nueves en el denominador

la parte no periódica añade ceros al denominador

Tipo de examen escolar de 2.º ESO

¿Cuál es el menor natural a para que a/30 sea un decimal exacto?

①1

②2

③3

④5

⑤6

▸ ③ 3

Como 30 = 2 × 3 × 5, el factor primo 3 debe cancelarse para ser exacto.

30 = 2 × 3 × 5

a debe ser múltiplo de 3, así que el menor es 3.

a = 3 (3/30 = 1/10 = 0.1)

🎯 Puntos clave

①Criterio finito: solo factores 2 y 5

②Notación: punto sobre la primera y última cifra del periodo

③Convertir: usa 10ⁿ y resta

④Todo racional se escribe finito o periódico

⑤Decimales no periódicos infinitos = irracionales (3.º ESO)

Reglas de los exponentes

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