Racionales y decimales periódicos

Intuición — ¿qué pasa al dividir?

Si solo copias las primeras cifras después de la coma, dos escrituras de la misma fracción pueden parecer números distintos. Cuando la fracción ya está irreducible, la pregunta que separa un decimal que termina de uno que se repite es si los factores primos del denominador son solo potencias de 2 y 5. Ambos tipos se pueden volver a escribir como fracción, así que siguen con los racionales; una expansión que sigue sin fin y sin bloque que se repita, no. Preguntar de qué primos está hecho el denominador, antes de fiarte de un puñado de cifras copiadas, es el hábito que evita que esas escrituras se separen.

Un punto marca 1/n en una recta entre 0 y 1, y debajo está escrita la expansión de 1 ÷ n con muchas cifras. Si cambias el denominador n de 2 a 12, se actualizan a la vez el sitio del punto y la cadena de dígitos; si un bloque se repite, aparecen el periodo y su longitud, y si no, queda una nota de que el decimal no se repite. En el otro dibujo se apilan un periódico de una cifra x = 0.aaa…, diez veces ese valor, la resta que deja 9x y x = a/9; cuando se puede simplificar, al lado quedan la fracción irreducible y un sector de círculo. Cambiar la cifra del periodo de 1 a 8 actualiza los números de esas líneas y la parte del círculo al mismo tiempo.

Finito vs periódico

Periódico → fracción

Una cola larga después de la coma no basta para llamar racional a un número. Una expansión que nunca se repite no se puede escribir otra vez como fracción, y algo que parece periódico aún puede terminar si, al partir el denominador en primos, solo quedan 2 y 5. Escribir unas cifras delanteras sin raya sobre el bloque que se repite hace que el mismo número parezca otro decimal. Mirar primero los primos del denominador, y no solo los puntos, es el orden que evita mezclar decimales que terminan con decimales periódicos.

Mixto periódico

Resuélvelo

Puntos clave