Al dividir 1 entre 4 el resultado termina en 0,25, pero 1 entre 3 da 0,333… con treses sin fin, y 1 entre 7 repite en bloque las seis cifras 142857.
Algunas fracciones dan decimales exactos y otras decimales periódicos, y lo que decide es si el denominador de la fracción irreducible se descompone solo en doses y cincos.
En sentido contrario, si se multiplica un decimal periódico por una potencia de 10 y se le resta el número original, la cola infinita desaparece entera y queda una fracción.
Así que los decimales exactos y los periódicos son dos maneras de escribir en forma decimal las fracciones, es decir, los números racionales.
¿Qué decimal sale al dividir?
Una calculadora corta las cifras donde se le acaba la pantalla, así que solo con la pantalla no se sabe si un decimal termina de verdad o se repite sin fin. Este tema cambia esa decisión: en lugar de contar cifras, se mira el denominador. Cada nueva cifra decimal sale de multiplicar por 10, y 10 = 2 × 5, de modo que si el denominador conserva algún factor primo distinto de 2 y 5, el resto nunca llega a 0. Conociendo este motivo se puede afirmar sin dividir que 1/40 es exacto y 1/12 es periódico.
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1/n en la recta numérica, el decimal de 1 ÷ n obtenido por división larga con su periodo, y la descomposición del denominador
La recta de la primera figura divide el tramo de 0 a 1 en n partes iguales y marca la posición de 1/n; debajo aparece 1 ÷ n desarrollado por división larga. Si el decimal es periódico, el bloque que se repite lleva una barra encima y se indica su longitud; si es exacto, se indica en qué cifra decimal termina. Las dos últimas líneas muestran la descomposición en factores primos de n y el veredicto, así que al pasar n de 6 a 8 se ve cómo desaparece el factor 3 y el periódico se vuelve exacto. La segunda figura pone la resta en columna de 10x menos x junto a un círculo coloreado según la fracción obtenida.
3
👀 Lo que dicen los restos
①En la división larga 1 ÷ 3 el resto es siempre 1, así que los treses del cociente nunca acaban.
②En 1 ÷ 7 los restos recorren 1, 3, 2, 6, 4, 5 y vuelven a 1, por lo que se repiten las seis cifras 142857.
③Un resto solo puede ser menor que el divisor, así que, si no llega a 0, tarde o temprano se repite un resto y desde ese momento el cociente se repite.
Decimales exactos y periódicos
🔑 Cuándo una fracción da un decimal exacto
①Si el denominador de la fracción irreducible solo tiene doses y cincos como factores primos, el decimal es exacto.
②Si tiene aunque sea un factor primo distinto de 2 y 5, el decimal es periódico.
③1/8 = 1/2³ es exacto (0,125), mientras que 1/6 = 1/(2 × 3) es periódico (0,1666…) por el factor 3.
Cómo reconocer un decimal exacto
es exacto solo si el denominador irreducible tiene la forma 2a × 5b
Primero se simplifica siempre la fracción y después se descompone el denominador.
Pasar un decimal periódico a fracción
Es fácil pensar que todo decimal con muchas cifras es periódico, pero periódico solo es aquel en que el mismo bloque se repite sin fin. Un decimal infinito que no se repite, como el número pi, es irracional y no puede escribirse como fracción; eso llega el curso siguiente. Además, la prueba del decimal exacto debe hacerse con la fracción ya simplificada. 3/30 tiene un 3 en el denominador y parece periódico, pero simplificado es 1/10 = 0,1.
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La resta en columna de x a 10x que convierte 0,nnn… en fracción, y un círculo coloreado según su tamaño
1
Periodo de una cifra a fracción
0.a̅ = a9
Si el periodo tiene una cifra, el denominador es 9.
Periodo de dos cifras a fracción
0.a̅b̅ = ab99
Si el periodo tiene dos cifras se calcula 100x − x, así que el denominador es 99.
Cuando hay cifras no periódicas delante
Decimal periódico mixto
0.ab̅ = ab - a90
Se escriben dos ecuaciones que llevan la coma al inicio del periodo y un periodo más allá, y se restan.
📝 0,1666… como fracción
①Sea x = 0,1666….
②Entonces 10x = 1,666… y 100x = 16,666… tienen exactamente las mismas cifras decimales.
③100x − 10x = 15, así que 90x = 15 y x = 15/90 = 1/6.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Determina si la fracción 3/40 es un decimal exacto o periódico.
1
Factoriza en primos el denominador de la fracción irreducible.
40 = 2³ × 5
2
Si los únicos factores primos son 2 y 5, es exacto.
solo primos 2, 5 ⇒ exacto (3/40 = 0.075)
▸ exacto (0.075)
Una fracción irreducible es exacta justo cuando su denominador solo tiene 2 y 5.
Ejemplo 2
Expresa el decimal periódico 0.444… como fracción irreducible.
1
Sea x = 0.444… y forma diez veces x.
x = 0.444…, 10x = 4.444…
2
Al restar se obtiene 9x = 4.
10x − x = 9x = 4 ⇒ x = 4/9
▸ 4/9
Multiplica un periódico por una potencia de 10 y resta para quitar el período.
Puntos clave para el examen
Regla para pasar periódicos a fracción
periodo de n cifras → n nueves en el denominador
Si hay k cifras decimales que no se repiten, se añaden k ceros detrás de los nueves.
Tipo de examen escolar de 2.º ESO
¿Cuál es el menor natural a para que a/30 sea un decimal exacto?
①1
②2
③3
④5
⑤6
▸ ③ 3
1
Como 30 = 2 × 3 × 5, el factor primo 3 debe cancelarse para ser exacto.
30 = 2 × 3 × 5
2
a debe ser múltiplo de 3, así que el menor es 3.
a = 3 (3/30 = 1/10 = 0.1)
🎯 Puntos de examen
①Para saber si un decimal es exacto, se simplifica la fracción y se comprueba que el denominador solo tenga los factores 2 y 5.
②Un decimal periódico se escribe con un arco o una barra sobre el periodo; las figuras de esta página usan la barra.
③Para pasar un periódico a fracción, se resta la ecuación original de la multiplicada por 10ⁿ.
④Todo número racional se puede escribir como decimal exacto o periódico, y el recíproco también es cierto.
⑤Un decimal infinito no periódico es irracional (curso siguiente).