Área y volumen de cuerpos geométricos

Surface Area & Volume

El volumen y el área de los cuerpos se entienden con solo apilar monedas. Una moneda, un círculo de área πr², se convierte en un cilindro de volumen πr²h al apilarla hasta la altura h; un cono es un tercio de eso y una esfera dos tercios cuando la altura iguala al diámetro. Al desenrollar la cara lateral en un rectángulo también se ve por qué salen las fórmulas del área. Cambia el radio y la altura y alterna entre cilindro, cono y esfera, y los volúmenes se comparan como 3 : 1 : 2.

Intuición — empieza apilando monedas

Radio r3

Altura h6

🪙 Apila monedas

①Área de una moneda (círculo) = πr²

②Apila h monedas → cilindro → V = πr²h

③Un cono es una pila de monedas cada vez más pequeñas → 1/3 del cilindro

④Una esfera encaja en un cilindro y ocupa 2/3 (cuando h = 2r)

Volumen y área de un prisma o cilindro

Volumen del prisma

V = Sh = (área de la base) × (altura)

Vale para cualquier base — área de la base × altura

Volumen del cilindro

V = πr²h

Prisma cuya base es un círculo de radio r

Área del cilindro

S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

Dos círculos en los extremos + lateral (al desenrollarlo, un rectángulo de base 2πr y altura h)

🔍 Desenrolla el lateral

①Al cortar el lateral del cilindro y aplanarlo se obtiene un rectángulo

②Base = longitud de la circunferencia = 2πr

③Altura = h

④Área lateral = 2πrh

Volumen del cono — ¿por qué 1/3?

Volumen del cono

V = 13Sh

Exactamente 1/3 de un prisma con la misma base y altura

Volumen del cono (fórmula)

V = 13πr²h

1/3 de πr²h

Área lateral del cono

S = πrl

l es la generatriz; al desenrollarlo se obtiene un sector circular. l = √(r²+h²)

💡 Compruébalo experimentalmente

①Coge un vaso cónico y otro cilíndrico con la misma base y altura

②Llena el cono de agua y vuélcalo en el cilindro: necesitas exactamente 3 conos

③¡Eso confirma el 1/3 sin necesidad de cálculo!

Volumen y área de la esfera

Volumen de la esfera

V = 43πr³

Esfera de radio r — 2/3 del cilindro de altura 2r

Área de la esfera

S = 4πr²

Igual al área de cuatro círculos del mismo radio

🏀 Esfera = 2/3 del cilindro

①Inscribe la esfera en un cilindro de altura igual al diámetro

②V cilindro = πr² × 2r = 2πr³

③V esfera = (4/3)πr³ = 2/3 del cilindro

④¡Una preciosa relación descubierta por Arquímedes!

Resuélvelo

Ejemplo 1

Halla el volumen de un cilindro de radio de base 3 y altura 5. (Deja π tal cual.)

Volumen de un prisma/cilindro = (área de la base) × (altura) = πr² × h.

volumen = π × 3² × 5

Calcula.

= 9π × 5 = 45π

▸ 45π

El volumen de un cilindro multiplica el área de la base por la altura.

Ejemplo 2

Halla el volumen de una pirámide cuadrada de lado de base 6 y altura 10.

Volumen de una pirámide = (1/3) × (área de la base) × (altura). Área = 6² = 36.

volumen = (1/3) × 36 × 10

Calcula.

= (1/3) × 360 = 120

▸ 120

Una pirámide es un tercio del prisma de igual base y altura.

Puntos clave de examen

Resumen de volúmenes

Sh, 13Sh, 43πr³

Cilindro : Cono : Esfera = 3 : 1 : 2 (cuando h = 2r)

Tipo de examen escolar de 1.º ESO

¿Cuál es el volumen de una esfera de radio 3? (Deja π tal cual.)

①12π

②27π

③36π

④72π

⑤108π

▸ ③ 36π

Volumen de una esfera = (4/3)πr³.

volumen = (4/3) × π × 3³

Calcula.

= (4/3) × 27π = 36π

🎯 Puntos de examen

①V prisma = Sh; V cono = Sh/3 — vale para cualquier base

②El área 2πr(r+h) del cilindro es muy frecuente

③Área lateral del cono πrl (l = generatriz)

④Área de la esfera 4πr² = 4 veces la de un círculo — explica el porqué en preguntas abiertas

⑤Área de la semiesfera = 2πr² + πr² = 3πr² (parte curva + base plana)

⑥Área de prisma y pirámide = suma de las caras del desarrollo

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Organización e interpretación de datos

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