El volumen de un cuerpo geométrico se entiende bien si imaginas una pila de monedas.
Apilando monedas de área πr² hasta una altura h se obtiene un cilindro de volumen πr²h; un cono con la misma base y la misma altura ocupa la tercera parte.
Una esfera que encaja justo dentro de un cilindro ocupa dos tercios de él, así que, cuando la altura es igual al diámetro, los volúmenes del cilindro, el cono y la esfera están en razón 3 : 1 : 2.
En esta página cambias el radio y la altura y pasas del cilindro al cono y a la esfera para comparar sus volúmenes dejando π, y desarrollas superficies para ver de dónde salen las fórmulas del área.
Cuerpos hechos de monedas apiladas
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Cilindro, cono o esfera dibujados a la misma escala, con su volumen
3
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🪙 Apilar monedas
①Una moneda de radio r tiene área πr²
②Si apilas monedas así hasta una altura h, obtienes un cilindro, de volumen πr² × h
③Un cono es como una pila de monedas que se van achicando hacia arriba, así que cabe menos que en un cilindro de igual base y altura: exactamente la tercera parte
④El dibujo usa la misma escala para el radio y la altura. Con r = 3 y h = 6, el cilindro es tan alto como ancho
Volumen y área de prismas y cilindros
Volumen de prismas y cilindros
V = Sh = (área de la base) × (altura)
Sea cual sea la forma de la base, se multiplica su área por la altura
Volumen del cilindro
V = πr²h
Un cilindro cuya base es un círculo de radio r
Área total del cilindro
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
Las dos bases circulares más la superficie lateral, que al desenrollarse es un rectángulo de 2πr de ancho y h de alto
🔍 Desenrollar el lateral
①Si cortas el lateral de un cilindro en vertical y lo desenrollas, obtienes un rectángulo
②Su ancho es la longitud de la circunferencia de la base, 2πr
③Su alto es h
④Así que el área lateral es 2πrh, y sumando las dos bases, 2πr², sale el área total
Por qué el cono es un tercio
Volumen de pirámides y conos
V = 13Sh
La tercera parte del prisma o cilindro de igual base y altura
Volumen del cono
V = 13πr²h
La tercera parte del volumen del cilindro, πr²h
Área lateral del cono
S = πrl
l es la generatriz. Desarrollado, el lateral es un sector de radio l y arco 2πr, así que su área es (1/2) × l × 2πr = πrl
💡 Comprobarlo con un experimento
①Prepara un recipiente con forma de cilindro y otro con forma de cono, de igual base y altura
②Llena el cono de agua y vacíalo en el cilindro: hacen falta tres veces para llenarlo
③Así ves con tus propios ojos, sin calcular, que el cono es la tercera parte del cilindro
④Si eliges el cono en el dibujo, su volumen sale como 1/3 del del cilindro
Volumen y área de la esfera
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Volúmenes de un cilindro, un cono y una esfera con el mismo r y h
Volumen de la esfera
V = 43πr³
Una esfera de radio r es 2/3 de un cilindro de altura 2r
Área de la esfera
S = 4πr²
Es igual al área de cuatro círculos del mismo radio
🏀 La esfera es dos tercios de su cilindro
①Mete la esfera en el cilindro en que encaja justo, cuya altura es el diámetro 2r
②Ese cilindro tiene volumen πr² × 2r = 2πr³
③La esfera tiene volumen (4/3)πr³, es decir, 2/3 del cilindro
④El cono de igual base y altura es (1/3) × 2πr³ = (2/3)πr³, de modo que cilindro : cono : esfera = 3 : 1 : 2, una relación que descubrió Arquímedes
Comprobar con ejemplos
Ejemplo 1
Halla el volumen de un cilindro de radio de la base 3 y altura 5. (Deja π en el resultado.)
1
El volumen del cilindro es (área de la base) × (altura) = πr² × h.
volumen = π × 3² × 5
2
Se calcula.
= 9π × 5 = 45π
▸ 45π
Con r = 3 y h = 5 en el dibujo, elige el cilindro: su volumen aparece como 45π ≈ 141,4.
Ejemplo 2
Una pirámide de base cuadrada tiene 6 de lado de la base y 10 de altura. Halla su volumen.
1
El volumen de una pirámide es (1/3) × (área de la base) × (altura), y el área de la base es 6² = 36.
volumen = (1/3) × 36 × 10
2
Se calcula.
= (1/3) × 360 = 120
▸ 120
El prisma cuadrado de igual base y altura tiene volumen 360, y la pirámide es su tercera parte, 120.
Repaso para el examen
Resumen de volúmenes
Sh, 13Sh, 43πr³
cilindro : cono : esfera = 3 : 1 : 2 (mismo r y altura 2r)
Tipo examen de 1.º de ESO
¿Cuál es el volumen de una esfera de radio 3? (Deja π en el resultado.)
①12π
②27π
③36π
④72π
⑤108π
▸ ③ 36π
1
El volumen de la esfera es (4/3)πr³.
volumen = (4/3) × π × 3³
2
Se calcula.
= (4/3) × 27π = 36π
🎯 Repaso para el examen
①Prismas y cilindros: V = Sh; pirámides y conos: V = (1/3)Sh, sea cual sea la forma de la base
②El área total del cilindro, 2πr(r + h), aparece a menudo
③El área lateral del cono es πrl, donde l es la generatriz
④El área de la esfera, 4πr², es cuatro veces la de un círculo del mismo radio
⑤El área de una semiesfera es la parte curva, 2πr², más la base plana, πr²: en total 3πr²
⑥El área de un prisma o una pirámide es la suma de las áreas de todas las caras de su desarrollo