El volumen y el área de los cuerpos se entienden con solo apilar monedas.
Una moneda, un círculo de área πr², se convierte en un cilindro de volumen πr²h al apilarla hasta la altura h; un cono es un tercio de eso y una esfera dos tercios cuando la altura iguala al diámetro, una relación preciosa.
Al desenrollar la cara lateral en un rectángulo también se ve por qué salen las fórmulas del área.
En esta página puedes cambiar el radio y la altura con los controles y alternar entre cilindro, cono y esfera para ver cómo se comparan los volúmenes como 3 : 1 : 2.
Intuición — empieza apilando monedas
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Cuerpos geométricos — alterna entre cilindro, cono y esfera
3
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🪙 Apila monedas
①Área de una moneda (círculo) = πr²
②Apila h monedas → cilindro → V = πr²h
③Un cono es una pila de monedas cada vez más pequeñas → 1/3 del cilindro
④Una esfera encaja en un cilindro y ocupa 2/3 (cuando h = 2r)
Volumen y área de un prisma o cilindro
Volumen del prisma
V = Sh = (área de la base) × (altura)
Vale para cualquier base — área de la base × altura
Volumen del cilindro
V = πr²h
Prisma cuya base es un círculo de radio r
Área del cilindro
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
Dos círculos en los extremos + lateral (al desenrollarlo, un rectángulo de base 2πr y altura h)
🔍 Desenrolla el lateral
①Al cortar el lateral del cilindro y aplanarlo se obtiene un rectángulo
②Base = longitud de la circunferencia = 2πr
③Altura = h
④Área lateral = 2πrh
Volumen del cono — ¿por qué 1/3?
Volumen del cono
V = 13Sh
Exactamente 1/3 de un prisma con la misma base y altura
Volumen del cono (fórmula)
V = 13πr²h
1/3 de πr²h
Área lateral del cono
S = πrl
l es la generatriz; al desenrollarlo se obtiene un sector circular
💡 Compruébalo experimentalmente
①Coge un vaso cónico y otro cilíndrico con la misma base y altura
②Llena el cono de agua y vuélcalo en el cilindro: necesitas exactamente 3 conos
③¡Eso confirma el 1/3 sin necesidad de cálculo!
Volumen y área de la esfera
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Comparación de volúmenes — cilindro vs cono vs esfera con el mismo r y h
Volumen de la esfera
V = 43πr³
Esfera de radio r — 2/3 del cilindro de altura 2r
Área de la esfera
S = 4πr²
Igual al área de cuatro círculos del mismo radio
🏀 Esfera = 2/3 del cilindro
①Inscribe la esfera en un cilindro de altura igual al diámetro
②V cilindro = πr² × 2r = 2πr³
③V esfera = (4/3)πr³ = 2/3 del cilindro
④¡Una preciosa relación descubierta por Arquímedes!
Resuélvelo
Ejemplo 1
Halla el volumen de un cilindro de radio de base 3 y altura 5. (Deja π tal cual.)
1
Volumen de un prisma/cilindro = (área de la base) × (altura) = πr² × h.
volumen = π × 3² × 5
2
Calcula.
= 9π × 5 = 45π
▸ 45π
El volumen de un cilindro multiplica el área de la base por la altura.
Ejemplo 2
Halla el volumen de una pirámide cuadrada de lado de base 6 y altura 10.
1
Volumen de una pirámide = (1/3) × (área de la base) × (altura). Área = 6² = 36.
volumen = (1/3) × 36 × 10
2
Calcula.
= (1/3) × 360 = 120
▸ 120
Una pirámide es un tercio del prisma de igual base y altura.