Un polígono es una figura cerrada por segmentos, y en cada vértice hay un ángulo interior por dentro y un ángulo exterior por fuera.
Al trazar diagonales desde un vértice, un polígono de n lados queda dividido en (n − 2) triángulos, así que sus ángulos interiores suman 180° × (n − 2).
Los ángulos exteriores suman siempre 360°, tenga los lados que tenga, y en un sector circular, un trozo de círculo, la longitud del arco y el área dependen de qué fracción del círculo entero es su ángulo central.
En esta página cambias el número de lados y cuentas los triángulos, y luego cambias el ángulo central y el radio para comprobar el arco y el área de un sector.
Polígonos divididos en triángulos
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Un polígono regular dividido en triángulos por diagonales desde un vértice
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🍕 Dividir en triángulos
①Desde un vértice de un polígono de n lados se pueden trazar (n − 3) diagonales: ninguna a sí mismo ni a sus dos vecinos
②Esas diagonales dividen el polígono en (n − 2) triángulos. Si cuentas los trozos de distinto color en el dibujo, hay n − 2
③Los ángulos de cada triángulo suman 180°, así que los ángulos interiores de un polígono de n lados suman 180° × (n − 2)
④Un polígono de n lados tiene en total n(n − 3)/2 diagonales
Ángulos interiores y exteriores
Suma de los ángulos interiores
180° × (n − 2)
Se obtiene dividiendo el polígono en (n − 2) triángulos
Un ángulo interior de un polígono regular
180° × (n-2)n
En un polígono regular todos los ángulos interiores son iguales, así que se divide la suma entre n
Suma de los ángulos exteriores
suma de ángulos exteriores = 360°
Vale 360° en cualquier polígono, tenga los lados que tenga
💡 Por qué los exteriores suman siempre 360°
①En cada vértice, el ángulo interior y el exterior suman 180°. Un polígono de n lados tiene n vértices, así que (suma interior) + (suma exterior) = 180° × n
②Restando la suma interior, 180° × (n − 2), la suma exterior es 180° × 2 = 360°
③También puedes imaginar que recorres el borde: en cada vértice giras el ángulo exterior y acabas mirando hacia donde empezaste, así que los giros suman una vuelta completa, 360°
④Cada ángulo exterior de un polígono regular de n lados mide 360° ÷ n
Círculo y sector circular
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Longitud del arco y área de un sector al cambiar el ángulo central y el radio
120°
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🔍 Un sector es una fracción del círculo
①Un sector de ángulo central x° es x/360 del círculo entero (360°)
②Así que la longitud de su arco es x/360 de la circunferencia 2πr, y su área es x/360 del área del círculo πr²
③En un mismo círculo, la longitud del arco y el área son directamente proporcionales al ángulo central: si duplicas el ángulo en el dibujo, ambas se duplican
④El dibujo muestra la forma exacta con π y un valor aproximado. Las respuestas suelen dejarse con π
Las fórmulas
Longitud de la circunferencia
l = 2πr
Es el diámetro por π. Con el diámetro d, l = πd
Área del círculo
S = πr²
Se eleva el radio al cuadrado y se multiplica por π
Longitud del arco de un sector
l = 2πr × x360
Se multiplica la circunferencia por x/360
Área de un sector
S = πr² × x360 = 12rl
Se multiplica el área del círculo por x/360. Si conoces el radio y la longitud del arco, también vale (1/2) × r × l
💡 Por qué S = (1/2)rl
①Imagina que cortas el sector en tiras muy finas desde el centro
②Cada tira es casi un triángulo con un trocito de arco como base y el radio r como altura
③Sumando todas las tiras queda (1/2) × r × (suma de las bases) = (1/2) × r × l
④Así que con el radio y la longitud del arco basta para hallar el área, sin el ángulo central
Comprobar con ejemplos
Ejemplo 1
Halla la suma de los ángulos interiores de un hexágono.
1
Los ángulos interiores de un polígono de n lados suman 180° × (n − 2), y el hexágono tiene n = 6.
180° × (6 − 2)
2
Se calcula.
= 180° × 4 = 720°
▸ 720°
Si pones n = 6 en el dibujo, salen 4 triángulos y una suma interior de 720°.
Ejemplo 2
Halla el área de un sector de radio 6 y ángulo central 60°. (Deja π en el resultado.)
1
El área de un sector es el área del círculo multiplicada por (ángulo central)/360°.
área = π × 6² × (60/360)
2
Se calcula.
= 36π × 1/6 = 6π
▸ 6π
Con radio 6 y ángulo central 60° en el dibujo, el área aparece como 6π ≈ 18,85.
Repaso para el examen
Fórmulas clave de polígonos y sectores
180(n-2), πr², 12rl
suma de ángulos interiores, área del círculo, área del sector
Tipo examen de 1.º de ESO
¿Cuánto mide cada ángulo interior de un pentágono regular?
①100°
②108°
③110°
④120°
⑤135°
▸ ② 108°
1
Los ángulos interiores de un pentágono suman 180° × (5 − 2) = 540°.
180° × (5 − 2) = 540°
2
El pentágono regular tiene cinco ángulos iguales, así que se divide entre 5.
540° ÷ 5 = 108°
🎯 Repaso para el examen
①Los ángulos interiores de un polígono de n lados suman 180° × (n − 2)
②Los exteriores suman 360° sea cual sea n; es fácil pensar que crecen con n
③Cada ángulo interior mide 120° en el hexágono regular y 135° en el octógono regular
④La longitud del arco y el área son proporcionales al ángulo central, así que se resuelven con proporciones
⑤Si te dan el radio y la longitud del arco, usa S = (1/2)rl