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Mis palabras
1° Secundaria (12-13 años)

Polígonos y círculos

Polygon & Circle

Un polígono es una figura cerrada por segmentos rectos que guarda dentro sus ángulos interiores y exteriores. Al trazar diagonales desde un vértice, como al cortar una pizza en n trozos, el polígono se divide en triángulos y se ve por qué los interiores suman 180°×(n−2). Los exteriores siempre suman 360° sin importar los lados, y un sector se lleva del arco y del área una parte igual a la fracción de su ángulo central. Mueve los controles del número de lados, el ángulo central y el radio para ver cómo cambian los ángulos y el sector.

Intuición — cortar una pizza en n trozos
5
🍕 Piensa en la pizza
①Si cortas una pizza en n partes iguales, cada porción tiene un ángulo central de 360/n°
②En un polígono ocurre algo parecido: las diagonales desde un vértice forman triángulos
③La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°
④Hay (n−2) triángulos, así la suma total es 180·(n−2)°
Relación entre ángulos interiores y exteriores
Suma de ángulos interiores
Suma = 180° × (n − 2)
Un n-ágono se descompone en (n−2) triángulos
Ángulo interior de un polígono regular
180° × (n-2)n
Todos los ángulos interiores son iguales: divide la suma entre n
Suma de ángulos exteriores
Suma = 360° (todo polígono)
Interior + exterior = 180°, así que la suma exterior es siempre 360°
💡 Por qué los exteriores suman siempre 360°
①Imagina caminar dando una vuelta completa al polígono
②En cada vértice giras justo el ángulo exterior
③En total giras 360°, así que la suma de exteriores es siempre 360°
Círculos y sectores
120°
5
🔍 Un sector es una parte del círculo
①Círculo completo = sector de 360° de ángulo central
②Un sector de x° equivale a x/360 del círculo
③Tanto la longitud del arco como el área comparten esa razón x/360
Deducción de las fórmulas
Longitud de la circunferencia
l = 2πr
Diámetro × π = longitud de la circunferencia. Con el diámetro d: l = πd
Área del círculo
S = πr²
Eleva el radio al cuadrado y multiplica por π
Longitud de arco del sector
l = 2πr × x360
x/360 de la circunferencia
Área del sector
S = πr² × x360 = 12rl
x/360 del área del círculo; también (1/2) × r × longitud del arco
💡 Por qué S = (1/2)rl
①Imagina que cortas el sector en muchos triángulos finos
②La base de cada uno es un trocito de arco y la altura es r
③Área del triángulo = (1/2) × base × altura
④Sumándolos se obtiene S = (1/2) × r × l
Resuélvelo
Ejemplo 1
Halla la suma de los ángulos interiores de un hexágono.
1
La suma de ángulos interiores de un n-ágono es 180° × (n − 2). Aquí n = 6.
180° × (6 − 2)
2
Calcula.
= 180° × 4 = 720°
▸ 720°
Divide el polígono en (n − 2) triángulos para la suma de ángulos interiores.
Ejemplo 2
Halla el área de un sector de radio 6 y ángulo central 60°. (Deja π tal cual.)
1
Área del sector = πr² × (ángulo central / 360°).
área = π × 6² × (60/360)
2
Calcula.
= 36π × 1/6 = 6π
▸ 6π
Un sector es parte de un círculo, así que multiplica por la fracción del ángulo (central/360°).
Puntos clave de examen
Resumen polígono · círculo · sector
180(n-2), πr², 12rl
Estas tres fórmulas son lo esencial
Tipo de examen escolar de 1.º ESO
¿Cuánto mide cada ángulo interior de un pentágono regular?
①100°
②108°
③110°
④120°
⑤135°
▸ ② 108°
1
Un pentágono tiene suma de ángulos interiores 180° × (5 − 2) = 540°.
180° × (5 − 2) = 540°
2
Un pentágono regular tiene cinco ángulos iguales, así que divide entre 5.
540° ÷ 5 = 108°
🎯 Puntos de examen
①Sustituye n en 180(n−2) para obtener la suma directamente
②La suma de exteriores 360° no depende de n — ¡cuidado con las preguntas trampa!
③Memoriza el ángulo de polígonos regulares: hexágono 120°, octógono 135°
④(1/2)rl aparece a menudo en preguntas de respuesta abierta
⑤Longitud del arco y área son proporcionales al ángulo central
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