Construir una figura es dibujarla solo con una regla sin marcas y un compás. La regla une dos puntos; el compás traza circunferencias y traslada longitudes de un sitio a otro.
Con solo esas dos herramientas puedes partir un segmento justo por la mitad y trazar la recta perpendicular que pasa por ese punto medio: la mediatriz.
Dos figuras con la misma forma y el mismo tamaño, que encajan exactamente al superponerlas, son congruentes. En los triángulos basta con que coincida una de estas cosas: los tres lados (LLL), dos lados y el ángulo comprendido (LAL) o un lado y los dos ángulos de sus extremos (ALA).
En esta página sigues en cuatro pasos la construcción de la mediatriz y, cambiando dos lados y el ángulo entre ellos, ves cómo el tercer lado queda fijado por sí solo.
Construir con regla y compás
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Cuatro pasos para trazar con regla y compás la mediatriz del segmento AB
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👀 Las reglas de la construcción
①En una construcción solo se usan una regla sin marcas y un compás
②La regla sirve para trazar o prolongar un segmento por dos puntos; el compás, para trazar circunferencias y para medir y trasladar longitudes
③Para la mediatriz, los dos arcos han de tener el mismo radio, y mayor que la mitad de AB; si no, los arcos no se cortan
④Los puntos de corte P y Q están a un radio de distancia tanto de A como de B (PA = PB). Por eso la recta PQ pasa por el punto medio M de AB y corta a AB en ángulo recto
Dos triángulos con dos lados y el ángulo comprendido iguales
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Triángulos ABC y A'B'C' con los mismos lados a, b y el mismo ángulo comprendido C
6
5
50
🔍 Qué significa congruente
①Dos figuras con la misma forma y el mismo tamaño, que encajan exactamente al poner una sobre otra, son congruentes
②Los vértices, lados y ángulos que quedan uno sobre otro se llaman correspondientes. En el dibujo, los lados con las mismas marcas se corresponden, y también los ángulos marcados
③El triángulo de la derecha es el de la izquierda dado la vuelta. Aun así encaja exactamente al superponerlo, así que son congruentes
④Cuando los controles fijan dos lados y el ángulo comprendido, la longitud del tercer lado y los otros dos ángulos no dejan margen para elegir. Eso es lo que significa el criterio LAL
Criterios de congruencia de triángulos
LLL
Los tres pares de lados son iguales
a = a', b = b', c = c'
LAL
Dos pares de lados y el ángulo comprendido son iguales
a = a', b = b', ∠C = ∠C'
ALA
Un par de lados y los ángulos de sus extremos son iguales
c = c', ∠A = ∠A', ∠B = ∠B'
💡 Al elegir un criterio
①LLL es lado-lado-lado, LAL es lado-ángulo-lado y ALA es ángulo-lado-ángulo
②En LAL el ángulo debe ser el comprendido entre los dos lados. Con dos lados y un ángulo que no está entre ellos (LLA) a veces se pueden dibujar dos triángulos distintos, así que no prueba la congruencia
③Si solo coinciden los tres ángulos (AAA), los triángulos tienen la misma forma pero pueden tener distinto tamaño: son semejantes, no congruentes
④Si dos ángulos coinciden, el tercero también, así que un lado y dos ángulos siempre se pueden convertir en ALA, tomando los ángulos de los extremos de ese lado
Comprobar con ejemplos
Ejemplo 1
△ABC ≅ △DEF y BC = 7. Halla la longitud del lado EF.
1
Siguiendo el orden de las letras, A ↔ D, B ↔ E y C ↔ F, así que el lado que corresponde a BC es EF.
BC ↔ EF (lados correspondientes)
2
En figuras congruentes, los lados correspondientes son iguales.
EF = BC = 7
▸ EF = 7
Los lados correspondientes se buscan por el orden de los vértices en la congruencia, no por el parecido de las letras.
Ejemplo 2
△ABC ≅ △DEF, ∠A = 50° y ∠B = 60°. Halla ∠F.
1
Los ángulos de un triángulo suman 180°, así que primero se halla ∠C.
∠C = 180° − 50° − 60° = 70°
2
C y F ocupan el tercer lugar en cada nombre, así que se corresponden y ∠F = ∠C.
∠F = ∠C = 70°
▸ ∠F = 70°
∠F no aparece en el enunciado, pero se halla buscando su ángulo correspondiente y usando la suma de los ángulos.
Repaso para el examen
Notación de congruencia
△ABC ≅ △DEF
Los vértices correspondientes se escriben en el mismo orden: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F
Tipo examen de 1.º de ESO
¿Qué condición hace siempre congruentes dos triángulos?
①Los tres pares de ángulos son iguales
②Dos pares de lados son iguales
③Los tres pares de lados son iguales
④Tienen la misma área
⑤Tienen el mismo perímetro
▸ ③ Los tres pares de lados son iguales
1
Los criterios de congruencia de triángulos son LLL, LAL y ALA.
LLL, LAL, ALA
2
Tres pares de lados iguales es el criterio LLL. Con solo los ángulos iguales el tamaño puede variar (①), dos lados no fijan el ángulo entre ellos (②) y con igual área o perímetro la forma puede ser distinta (④ ⑤).
tres pares de lados iguales ⇒ LLL
🎯 Repaso para el examen
①Los criterios de congruencia de triángulos son LLL, LAL y ALA
②El ángulo de LAL ha de ser el comprendido; LLA y AAA no son criterios de congruencia
③En figuras congruentes, los lados correspondientes miden lo mismo y los ángulos correspondientes también
④Escribe los triángulos congruentes con los vértices correspondientes en el mismo orden
⑤Al describir una construcción, indica en orden dónde pinchas el compás y con qué radio