Proporcionalidad directa e inversa

Proportional & Inverse Proportional

La proporción directa significa que, cuando una cantidad se duplica o triplica, la otra hace lo mismo, y se escribe y = ax. Caminar a velocidad constante es un buen ejemplo: cuanto más tiempo pasa, mayor es la distancia en la misma proporción. La proporción inversa, y = a/x, funciona al revés: a más velocidad en una distancia fija se tarda menos, así que el producto xy se mantiene constante. Aquí mueves la constante a con un deslizador y observas cómo cambian la recta por el origen y la hipérbola.

Directa: y = ax

Constante a2

👀 ¿Qué es la proporcionalidad directa?

①Si x se duplica, y se duplica; si x se triplica, y se triplica

②Forma y = ax (a ≠ 0)

③Gráfica: recta que pasa por el origen

④a > 0 → arriba a la derecha; a < 0 → abajo a la derecha

Inversa: y = a/x

Constante a6

🔍 ¿Qué es la proporcionalidad inversa?

①Si x se duplica, y se reduce a la mitad

②Forma y = a/x (a ≠ 0)

③Gráfica: hipérbola (se acerca a los ejes sin tocarlos)

④xy = a (el producto es constante)

Significado de la constante

Constante de la directa

a = yx

y/x es constante e igual a a

Constante de la inversa

a = xy

xy es constante e igual a a

💡 Cómo hallar la constante

①Directa: con un punto (x, y) se calcula a = y/x

②Inversa: con un punto se calcula a = xy

③El signo de la constante decide la posición de la gráfica

Resuélvelo

Ejemplo 1

y es directamente proporcional a x, y vale 6 cuando x = 2. Escribe y en función de x.

La proporción directa es y = ax. Sustituye x = 2, y = 6 para hallar a.

6 = a × 2 ⇒ a = 3

Pon a = 3 en la expresión.

y = 3x

▸ y = 3x

En y = ax, halla a con un solo par (x, y).

Ejemplo 2

y es inversamente proporcional a x, y vale 4 cuando x = 3. Halla y cuando x = 6.

La proporción inversa es y = a/x. Así a = xy = 3 × 4 = 12.

y = a/x, a = 3 × 4 = 12

Sustituye x = 6.

y = 12/6 = 2

▸ y = 2

En proporción inversa el producto xy es constante (= a).

Puntos clave de examen

Proporción directa

y = ax → recta por el origen

Cuanto mayor |a|, más inclinada es la recta (más cerca del eje y)

Proporción inversa

y = ax

a > 0: cuadrantes I y III / a < 0: cuadrantes II y IV

Tipo de examen escolar de 1.º ESO

La gráfica de y = 12/x pasa por el punto (a, 3). ¿Cuánto vale a?

①2

②3

③4

④6

⑤12

▸ ③ 4

Sustituye el punto (a, 3) en la ecuación.

3 = 12/a

Despeja a.

a = 12/3 = 4

🎯 Puntos de examen

①Directa vs inversa: y/x constante frente a xy constante

②En la gráfica, identifica el signo de la constante

③Directa: a mayor |a|, mayor pendiente

④Inversa: la hipérbola es asintótica a los ejes

⑤Ejemplos cotidianos: velocidad/tiempo (inversa), distancia/tiempo (directa)

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Plano cartesiano y gráficas

Punto · recta · plano · ángulo

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