La proporcionalidad directa es la relación en la que, cuando una magnitud se duplica o se triplica, la otra también; se escribe y = ax.
Caminar a velocidad constante es un buen ejemplo: si caminas el doble de tiempo, recorres el doble de distancia.
La proporcionalidad inversa tiene la forma y = a/x: para una distancia fija, si duplicas la velocidad tardas la mitad, de modo que cuando una magnitud crece la otra disminuye y su producto xy se mantiene.
En esta página cambias la constante a para ver una recta que pasa por el origen y una hipérbola, y compruebas en los dibujos si el cociente y ÷ x o el producto x × y se mantienen fijos.
Proporcionalidad directa, y = ax
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Proporcionalidad directa: recta por el origen, con los puntos de x = 1, 2, 3
2
👀 Proporcionalidad directa
①Si al duplicar, triplicar… x también se duplica, triplica… y, entonces y es directamente proporcional a x
②La ecuación tiene la forma y = ax (a ≠ 0), y para todo x distinto de 0 el cociente y ÷ x vale siempre a
③La gráfica es una recta que pasa por el origen. Los tres puntos del dibujo están sobre la misma recta
④Si a > 0 la recta sube hacia la derecha; si a < 0, baja
Proporcionalidad inversa, y = a/x
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Proporcionalidad inversa: hipérbola, con rectángulos que tienen todos área a
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🔍 Proporcionalidad inversa
①Si al duplicar, triplicar… x, y pasa a valer la mitad, la tercera parte…, entonces y es inversamente proporcional a x
②La ecuación tiene la forma y = a/x (a ≠ 0), y el producto x × y vale siempre a. Por eso todos los rectángulos del dibujo tienen la misma área
③La gráfica son dos ramas que se acercan cada vez más a los ejes sin llegar a tocarlos: una hipérbola
④Si a > 0 está en los cuadrantes I y III; si a < 0, en los cuadrantes II y IV
Qué significa la constante
Constante de proporcionalidad directa
a = yx
Para x ≠ 0, y ÷ x vale siempre a
Constante de proporcionalidad inversa
a = xy
x × y vale siempre a
💡 Cómo hallar la constante
①En la directa basta con un punto (x, y) de la gráfica: a = y ÷ x
②En la inversa también basta con un punto (x, y): a = x × y
③El signo de a decide por qué cuadrantes pasa la gráfica
④En la directa, cuanto mayor es |a|, más cerca está la recta del eje y y más empinada es
Comprobar con ejemplos
Ejemplo 1
y es directamente proporcional a x, y cuando x = 2, y = 6. Escribe y en función de x.
1
La proporcionalidad directa tiene la forma y = ax. Con x = 2 e y = 6 se halla a.
6 = a × 2 ⇒ a = 3
2
Se pone a = 3 en la ecuación.
y = 3x
▸ y = 3x
Con a = 3 en el dibujo, los puntos de x = 1, 2, 3 caen en (1, 3), (2, 6) y (3, 9); el 9 se sale de la cuadrícula, así que solo se ven los dos primeros.
Ejemplo 2
y es inversamente proporcional a x, y cuando x = 3, y = 4. Halla y cuando x = 6.
1
La proporcionalidad inversa tiene la forma y = a/x, con a = x × y = 3 × 4 = 12.
y = 12/x
2
Se sustituye x = 6.
y = 12/6 = 2
▸ y = 2
Al pasar x de 3 a 6, se duplica, y y pasa de 4 a 2, la mitad. El producto se mantiene: 3 × 4 = 6 × 2 = 12.
Repaso para el examen
Proporcionalidad directa
y = ax → recta que pasa por el origen
Cuanto mayor es |a|, más empinada es la recta y más se acerca al eje y
Proporcionalidad inversa
y = ax
a > 0: cuadrantes I y III; a < 0: cuadrantes II y IV
Tipo examen de 1.º de ESO
La gráfica de la proporcionalidad inversa y = 12/x pasa por el punto (a, 3). ¿Cuánto vale a?
①2
②3
③4
④6
⑤12
▸ ③ 4
1
Se sustituye el punto (a, 3) en la ecuación.
3 = 12/a
2
Se despeja a.
a = 12 ÷ 3 = 4
🎯 Repaso para el examen
①La directa y la inversa se distinguen por si es fijo y ÷ x o es fijo x × y
②El signo de la constante se deduce de los cuadrantes por los que pasa la gráfica
③En la directa, cuanto mayor es el valor absoluto de a, más empinada es la recta
④La gráfica de la inversa se acerca cada vez más a los ejes, pero nunca los toca
⑤A velocidad constante, distancia y tiempo son directamente proporcionales; para una distancia fija, velocidad y tiempo son inversamente proporcionales