Un punto tiene posición pero no tamaño. Un punto en movimiento traza una línea, y una línea en movimiento barre una superficie.
Por los mismos dos puntos A y B, una recta se prolonga sin fin en los dos sentidos, una semirrecta empieza en A y sigue sin fin hacia B, y un segmento conserva solo el tramo entre A y B.
Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas que salen de un mismo punto; tomando como referencia el ángulo recto (90°) y el llano (180°), los ángulos se dividen en agudos y obtusos.
En esta página cambias la amplitud de un ángulo para clasificarlo y compruebas por qué los ángulos opuestos por el vértice, que aparecen al cruzarse dos rectas, son siempre iguales.
Punto, línea, superficie y tres tipos de línea
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Recta, semirrecta y segmento por los puntos A y B, con sus símbolos
👀 Punto, línea y superficie
①Un punto tiene posición pero no tamaño. Un punto en movimiento traza una línea, y una línea en movimiento barre una superficie
②Por un punto pasan infinitas rectas, pero por dos puntos distintos pasa una sola
③La recta AB y la recta BA son la misma recta, y el segmento AB y el segmento BA son el mismo segmento
④Dos semirrectas son iguales solo si empiezan en el mismo punto y van en el mismo sentido. La semirrecta AB va de A hacia B y la semirrecta BA de B hacia A, así que son distintas
⑤La longitud del segmento AB es la distancia entre A y B
Amplitud y tipos de ángulo
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Ángulos agudo, recto, obtuso y llano al cambiar ∠AOB
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🔍 Tipos de ángulo
①∠AOB es la abertura entre las semirrectas OA y OB, trazadas desde el vértice O
②Un ángulo mayor que 0° y menor que 90° es agudo, y uno de 90° exactos es recto. Si pones el dibujo en 90°, aparece la marca de ángulo recto en el vértice
③Un ángulo mayor que 90° y menor que 180° es obtuso
④Cuando las dos semirrectas quedan en línea recta a ambos lados del vértice, el ángulo mide 180°: es un ángulo llano
Ángulos opuestos por el vértice, complementarios y suplementarios
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Los cuatro ángulos a, b, c, d que forman dos rectas al cortarse
50°
Ángulos opuestos por el vértice
∠a = ∠c, ∠b = ∠d
Cuando dos rectas se cortan en un punto, los ángulos enfrentados son iguales
Ángulos complementarios
∠x + ∠y = 90°
Dos ángulos que suman 90° son complementarios: cada uno es el complemento del otro
Ángulos suplementarios
∠x + ∠y = 180°
Dos ángulos que suman 180° son suplementarios. ∠a y ∠b, en el dibujo, son un ejemplo
💡 Por qué son iguales los opuestos por el vértice
①En el dibujo, ∠a y ∠b están uno junto al otro sobre la misma recta, así que suman 180°
②∠c y ∠b están uno junto al otro sobre la otra recta, así que también suman 180°
③Por tanto, ∠a = 180° − ∠b = ∠c, y del mismo modo ∠b = ∠d
④Aunque cambies con el control el ángulo entre las rectas, los dos ángulos dorados siguen siendo iguales entre sí, y los dos azules también
Comprobar con ejemplos
Ejemplo 1
Dos rectas se cortan en un punto y uno de los ángulos que forman mide 65°. Halla la medida de su ángulo opuesto por el vértice.
1
Los dos ángulos enfrentados al cortarse las rectas son opuestos por el vértice.
(opuesto por el vértice) = (ángulo dado)
2
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
∠x = 65°
▸ 65°
El ángulo vecino mide 180° − 65° = 115°. Si pones ∠a en 65° en el dibujo, aparece ∠c = 65° y ∠b = ∠d = 115°.
Ejemplo 2
En un punto de una recta, dos ángulos de 3x y 2x forman juntos un ángulo llano. Halla x.
1
Un ángulo llano mide 180°, así que los dos ángulos suman 180°.
3x + 2x = 180°
2
Se simplifica y se despeja x.
5x = 180° ⇒ x = 36°
▸ x = 36°
Los ángulos miden 3x = 108° y 2x = 72°, y suman 180°, como debe ser. Pasar los ángulos llano y recto a ecuaciones permite hallar un ángulo desconocido.
Repaso para el examen
Lo esencial
por dos puntos pasa una sola recta · los opuestos por el vértice son iguales
recta AB = recta BA, segmento AB = segmento BA, semirrecta AB ≠ semirrecta BA
Tipo examen de 1.º de ESO
En un punto de una recta, el ángulo llano queda dividido en tres ángulos de 90°, x y 30°. ¿Cuánto vale x?
①50°
②60°
③70°
④80°
⑤90°
▸ ② 60°
1
Es un ángulo llano, así que los tres ángulos suman 180°.
90° + x + 30° = 180°
2
Se despeja x.
x = 180° − 120° = 60°
🎯 Repaso para el examen
①Por dos puntos distintos pasa una sola recta
②Recta AB = recta BA y segmento AB = segmento BA, pero semirrecta AB ≠ semirrecta BA
③Los ángulos agudos están entre 0° y 90°, y los obtusos entre 90° y 180°; 90° y 180° no pertenecen a ninguno de los dos grupos
④Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
⑤Si varios ángulos forman juntos un ángulo llano (180°) o recto (90°), plantea su suma como ecuación